高等数学模块 9：微分方程与差分方程

本章围绕微分方程与差分方程展开，以考研数学真题为主线，并参考高质量练习题进行补充，按照“题型识别 → 核心方法 → 代表题 → 易错点 → 变式拓展”的方式组织。

一、先建立模块 9 的总地图

按站内真题的出现密度和考研价值，建议这样分级：

模块 9 真正值得训练到“看到就知道第一步”的，是前十项。

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二、一阶微分方程：整个模块最基础、也最容易综合化的一块

看到一个一阶方程，不要立刻积分。

识别顺序应当固定成：

能直接凑微分 → 能否分离变量 → 是否只含 y/x → 是否一阶线性 → 是否伯努利 → 能否换元成这些标准型 → 必要时把 x 看成 y 的函数。

这是整个一阶方程最重要的总策略。

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题型 1：可分离变量方程

标准结构是

$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y).$$

如果允许除以 g(y)，则

$$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx.$$

之后两边积分。

但真正的考点并不是这个公式，而是：

“能否把隐藏的微分方程识别出来。”

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真题 1：由增量关系反推出微分方程

来源：站内数学真题【1998-12-3 分】。

已知类似

$$\Delta y=\frac{y}{1+x^2}\Delta x+o(\Delta x),$$

以及初值

$$y(0)=\pi .$$

关键不是微分方程，而是先除以增量：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y}{1+x^2}+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}.$$

令

$$\Delta x\to 0,$$

得到

$$y^{\prime }=\frac{y}{1+x^2}.$$

于是分离变量：

$$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{1+x^2}.$$

积分：

$$\ln y=\arctan x+C.$$

利用初值：

$$C=\ln \pi .$$

所以

$$y=\pi e^{\arctan x}.$$

例如

$$y(1)=\pi e^{\pi /4}.$$

这类题的本质就是：

$$\Delta y=A(x,y)\Delta x+o(\Delta x)$$

直接意味着

$$y^{\prime }=A(x,y).$$

2018 年站内真题也出现过同类形式：

$$f(x+\Delta x)-f(x)=2xf(x)\Delta x+o(\Delta x),$$

本质完全一样。

母题结论

以后看到“小 o + 增量”，第一反应不要做极限技巧，而应想到：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}⟶y^{\prime }.$$

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三、齐次一阶微分方程：看到 y/x 就要条件反射

标准形式：

$$y^{\prime }=F\left(\frac{y}{x}\right).$$

令

$$y=vx.$$

最容易丢的一步：

$$y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }.$$

不是 y'=xv'。

于是原方程通常变成

$$x\frac{dv}{dx}=G(v),$$

从而可分离变量。

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真题 2：对数结构下的齐次方程

来源：站内数学真题【2014-1-4 分】。

方程为

$$x{y}^{\prime }+y(\ln x-\ln y)=0,$$

并给初值

$$y(1)=e^3.$$

先观察

$$\ln x-\ln y=-\ln \frac{y}{x}.$$

于是非常明显应令

$$y=vx.$$

则

$$y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }.$$

代入：

$$x(v+x{v}^{\prime })-vx\ln v=0.$$

整理：

$$x{v}^{\prime }=v(\ln v-1).$$

再令

$$w=\ln v,$$

则

$$w^{\prime }=\frac{v^{\prime }}{v}.$$

得到

$$x{w}^{\prime }=w-1.$$

即

$$\frac{dw}{w-1}=\frac{dx}{x}.$$

积分：

$$\ln |w-1|=\ln x+C.$$

因此

$$w-1=Cx.$$

由初值

$$v(1)=e^3,$$

所以

$$w(1)=3,$$

从而

$$C=2.$$

于是

$$w=1+2x,$$

即

$$v=e^{1+2x}.$$

最终

$$\boxed{y=x{e}^{1+2x}}.$$

这个题很典型：齐次方程不一定长得像纯有理式。只要能把所有 x、y 化成 y/x，就应该想到齐次代换。

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四、同一个题往往有“标准解”和“更快解”

这是复习微分方程时很值得培养的能力。

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真题 3：2025 年齐次方程，但其实可以一眼凑全微分

来源：站内数学真题【2025-2-5 分】。

$$(2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0,$$

且

$$y(1)=1.$$

它当然可以令

$$y=vx$$

去做。

但是观察二次式

$$5y^2-4xy+3x^2.$$

求微分：

$$d(5y^2-4xy+3x^2)=(6x-4y)dx+(10y-4x)dy.$$

而原方程乘以 -2 正好得到

$$(6x-4y)dx+(10y-4x)dy=0.$$

所以直接有

$$d(5y^2-4xy+3x^2)=0.$$

因此

$$5y^2-4xy+3x^2=C.$$

代入初值：

$$C=5-4+3=4.$$

所以

$$\boxed{5y^2-4xy+3x^2=4}.$$

若一定要求显式函数，在经过初值点的支上有

$$\boxed{y=\frac{2x+\sqrt{20-11x^2}}{5}}.$$

这道 2025 真题特别值得学，因为它说明：

题目属于某一知识点，不代表必须机械使用该知识点的标准套路。

先看有没有

$$d(xy),d(x^2),d(y^2)$$

这样的整体结构，经常能省掉大量计算。

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五、非常重要的新型代换：把 x+y、ax+by 整体看成新变量

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真题 4：2024 年 x+y 型方程

来源：站内数学真题【2024-12-5 分】。

$$(x+y)y^{\prime }=\frac{1}{(x+y{)}^2},$$

且

$$y(1)=0.$$

关键是整个方程只围绕

$$x+y$$

出现。

令

$$u=x+y.$$

则

$$\frac{du}{dx}=1+y^{\prime }=1+\frac{1}{u^3}.$$

因此

$$\frac{dx}{du}=\frac{u^3}{1+u^3}.$$

注意：

这里非常值得掌握一个思路——与其求 u(x)，有时候反过来求 x(u) 更简单。

于是

$$x-1={\int }_1^u\frac{t^3}{1+t^3}dt.$$

利用

$$\frac{t^3}{1+t^3}=1-\frac{1}{1+t^3},$$

得到

$$x-1=u-1-{\int }_1^u\frac{dt}{1+t^3}.$$

因为

$$u=x+y,$$

所以

$$\boxed{y={\int }_1^{x+y}\frac{dt}{1+t^3}}.$$

这类题的母结构是

$$y^{\prime }=F(ax+by).$$

通常令

$$u=ax+by,$$

有

$$u^{\prime }=a+b{y}^{\prime },$$

于是很可能直接变成可分离方程。

预测

以后完全可能改成：

$$y^{\prime }=F(2x-y),$$

或

$$y^{\prime }=F(x+2y),$$

方法一模一样。

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六、一阶线性微分方程：整个一阶部分最应该熟练到“秒识别”

标准形式：

$$y^{\prime }+P(x)y=Q(x).$$

积分因子：

$$\mu (x)=e^{\int P(x)dx}.$$

于是

$$(\mu y{)}^{\prime }=\mu Q.$$

从而

$$y=\frac{1}{\mu }\left(\int \mu Qdx+C\right).$$

但真正做题时，更建议：

先尝试直接识别乘积导数，再考虑机械写积分因子。

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真题 5：2025 年一阶线性方程

来源：站内数学真题【2025-3-5 分】。

$$x{y}^{\prime }-y+x^2{e}^x=0,$$

以及

$$y(1)=-e.$$

整理：

$$y^{\prime }-\frac{1}{x}y=-x{e}^x.$$

积分因子：

$$\mu =e^{-\int \frac{1}{x}dx}=\frac{1}{x}.$$

因此

$${\left(\frac{y}{x}\right)}^{\prime }=-e^x.$$

积分：

$$\frac{y}{x}=-e^x+C.$$

初值给出

$$C=0.$$

因此

$$\boxed{y=-x{e}^x}.$$

这里其实最应该形成的条件反射是

$$\frac{x{y}^{\prime }-y}{x^2}={\left(\frac{y}{x}\right)}^{\prime }.$$

所以以后看到

$$x{y}^{\prime }-y$$

就应该想到

$${\left(\frac{y}{x}\right)}^{\prime }.$$

而看到

$$x{y}^{\prime }+y$$

则想到

$$(xy{)}^{\prime }.$$

站内从 1987、1990、1991 到 2025 都反复出现一阶线性型，属于绝对核心。

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七、伯努利方程：真题直接出现频率不算最高，但必须会

站内李正元练习专门补了这一类。

标准形式：

$$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n,n\ne 0,1.$$

核心代换：

$$z=y^{1-n}.$$

那么

$$z^{\prime }=(1-n)y^{-n}{y}^{\prime }.$$

原方程即可变成一阶线性方程：

$$z^{\prime }+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x).$$

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练习母题：李正元

来源：站内李正元练习，微分方程章节。

$$y^{\prime }-3xy=x{y}^2.$$

令

$$z=\frac{1}{y}.$$

则

$$z^{\prime }=-\frac{y^{\prime }}{y^2}.$$

方程变成

$$z^{\prime }+3xz=-x.$$

积分因子：

$$e^{\frac{3}{2}{x}^2}.$$

于是可得

$$z=C{e}^{-\frac{3}{2}{x}^2}-\frac{1}{3}.$$

所以非零解为

$$\boxed{y=\frac{1}{C{e}^{-\frac{3}{2}{x}^2}-\frac{1}{3}}}.$$

此外一定不要忘记原方程还有

$$\boxed{y=0}.$$

因为在除以 y 的过程中可能把这个解丢掉。

伯努利最常见错误

不是不会代换，而是：

一上来除 y 的幂，把 y=0 这种特殊解直接除没了。

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八、高阶微分方程第一类：可降阶方程

主要记三个模型。

模型 A：完全不含 y

例如

$$F(x,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0.$$

令

$$p=y^{\prime },$$

则

$$y^{\prime \prime }=p^{\prime }.$$

二阶变成一阶。

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模型 B：完全不显含 x

例如

$$F(y,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0.$$

令

$$p=p(y)=y^{\prime }.$$

根据链式法则：

$$y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}.$$

这是极重要的降阶公式。

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模型 C：直接认出某个乘积的导数

比如

$$y{y}^{\prime \prime }+(y^{\prime }{)}^2.$$

应立即想到

$$(y{y}^{\prime }{)}^{\prime }.$$

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真题 6：2002 年“隐藏全导数”

来源：站内数学真题【2002-12-3 分】。

$$y{y}^{\prime \prime }+(y^{\prime }{)}^2=0,$$

且

$$y(0)=1,y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}.$$

观察：

$$(y{y}^{\prime }{)}^{\prime }=(y^{\prime }{)}^2+y{y}^{\prime \prime }.$$

所以

$$(y{y}^{\prime }{)}^{\prime }=0.$$

积分：

$$y{y}^{\prime }=C.$$

初值给出

$$C=\frac{1}{2}.$$

因此

$$y{y}^{\prime }=\frac{1}{2}.$$

于是

$$(y^2{)}^{\prime }=1.$$

得到

$$y^2=x+C_1.$$

由

$$y(0)=1$$

得

$$C_1=1.$$

所以经过初始点的解为

$$\boxed{y=\sqrt{1+x}}.$$

这种题不能只想着“令 p=y'”，优先寻找整体导数，往往一步结束。

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九、二阶常系数齐次线性微分方程：必须做到不用思考

标准方程：

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0.$$

特征方程：

$$r^2+pr+q=0.$$

三种情况。

两个不同实根

$$r_1\ne r_2,$$

则

$$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}.$$

二重根

$$r_1=r_2=r,$$

则

$$y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}.$$

共轭复根

$$r=\alpha \pm \beta i,$$

则

$$y=e^{\alpha x}\left(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x\right).$$

高于二阶也是一个原则：

特征根是什么，基本解就是什么。

如果 r 是 k 重根，那么对应

$$e^{rx},x{e}^{rx},\cdots ,x^{k-1}{e}^{rx}.$$

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十、真正有区分度的考法：由解的整体性质反推特征根

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真题 7：2025 年参数 + 反常积分

来源：站内数学真题【2025-2-5 分】，高阶微分方程部分。

$$y^{\prime \prime }-2a{y}^{\prime }+(a+2)y=0.$$

要求任意解在正半轴上的反常积分都收敛。

特征方程：

$$r^2-2ar+(a+2)=0.$$

想让所有指数模态都可积，核心要求不是“根为负数”，而是：

$$\boxed{\mathrm{Re}{r}_1<0,\mathrm{Re}{r}_2<0}.$$

对二次多项式

$$r^2+pr+q$$

而言，两根实部均小于零的条件是

$$p>0,q>0.$$

这里

$$p=-2a,q=a+2.$$

因此

$$-2a>0,$$

以及

$$a+2>0.$$

即

$$\boxed{-2<a<0}.$$

这是近年很值得重视的一类题：

不要求求通解，而是从“收敛、有界、极限存在”反推特征根位置。

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十一、“有界”与“可积”千万不要混

站内 2023 真题还有：

$$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0.$$

要求所有解在

$$(-\infty ,+\infty )$$

上有界。

因为区间是整个实轴：

• 实部正：往正无穷爆炸；
• 实部负：往负无穷爆炸；
• 重零根：出现 x；
• 真正能两头都有界的只能是纯振荡。

所以要求

$$r=\pm i\omega ,\omega >0.$$

因此

$$\boxed{a=0,b>0}.$$

这和“正半轴可积”完全不同。

应形成一张脑内表

这是以后很容易继续变形的命题点。

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十二、通过积分直接算量：不一定需要把解完整求出来

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真题 8：2020 年直接求反常积分

来源：站内数学真题【2020-1-4 分】。

设

$$f^{\prime \prime }+a{f}^{\prime }+f=0,a>0,$$

并且

$$f(0)=m,f^{\prime }(0)=n.$$

要求

$${\int }_0^{\infty }f(x)dx.$$

因为

$$a>0,$$

特征根实部均为负，所以

$$f(x)\to 0,f^{\prime }(x)\to 0.$$

直接把微分方程从 0 积到正无穷：

$${\int }_0^{\infty }{f}^{\prime \prime }dx+a{\int }_0^{\infty }{f}^{\prime }dx+{\int }_0^{\infty }fdx=0.$$

即

$$-n-am+{\int }_0^{\infty }f(x)dx=0.$$

因此

$$\boxed{{\int }_0^{\infty }f(x)dx=am+n}.$$

这是一类非常好的考研思维：

题目问的是一个“整体量”，不要执着于先把 f(x) 写出来。

站内 2016、2020 等真题都体现了类似思路。

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十三、二阶常系数非齐次方程：模块 9 最核心技术之一

标准形式：

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x).$$

总解：

$$\boxed{y=y_h+y_p}.$$

其中 y_h 是齐次通解，y_p 是任意一个非齐次特解。

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十四、特解到底怎么设？只需要掌握一个总规律

设特征多项式为

$$P(r)=r^2+pr+q.$$

如果右端是

$$e^{\alpha x}{P}_m(x),$$

则特解设为

$$y_p=x^s{e}^{\alpha x}{Q}_m(x),$$

其中 s 是 α 作为特征根的重数。

如果右端是

$$e^{\alpha x}\left[P_m(x)\cos \beta x+Q_m(x)\sin \beta x\right],$$

则设

$$y_p=x^s{e}^{\alpha x}\left[R_m(x)\cos \beta x+S_m(x)\sin \beta x\right],$$

其中 s 是

$$\alpha +i\beta$$

作为特征根的重数。

这一个规则基本统一全部待定系数法。

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十五、所谓“共振”本质是什么？

假设本来打算设

$$y_p=A{e}^{2x}.$$

可是

$$e^{2x}$$

本身已经是齐次解。

那么把它代入左端必然变成 0，永远不可能制造出右端。

怎么办？

乘 x。

如果还是齐次解，就继续乘。

所以：

乘 x 的次数 = 对应特征根的重数。

不是“看到指数函数就乘 x”。

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十六、真题 9：2004 年，把所有特解类型放在一题里

来源：站内数学真题【2004-2-4 分】。

$$y^{\prime \prime }+y=x^2+1+\sin x.$$

齐次方程：

$$r^2+1=0.$$

所以

$$r=\pm i.$$

齐次解：

$$y_h=C_1\cos x+C_2\sin x.$$

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第一部分：多项式

设

$$y_{p1}=A{x}^2+Bx+C.$$

则

$$y_{p1}^{\prime \prime }+y_{p1}=A{x}^2+Bx+C+2A.$$

与

$$x^2+1$$

比较：

$$A=1,B=0,C=-1.$$

所以

$$y_{p1}=x^2-1.$$

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第二部分：sin x

但是

$$\sin x$$

已经属于齐次解，因此发生一次共振。

通常的

$$A\cos x+B\sin x$$

必须乘 x。

最终可求得

$$y_{p2}=-\frac{x}{2}\cos x.$$

所以通解：

$$\boxed{y=C_1\cos x+C_2\sin x+x^2-1-\frac{x}{2}\cos x}.$$

一题同时考：

• 齐次通解；
• 多项式特解；
• 三角函数特解；
• 共振。

非常典型。

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十七、真题 10：指数 × 三角函数的共振

来源：站内数学真题【2017-2-4 分】。

$$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+8y=e^{2x}(1+\cos 2x).$$

特征方程：

$$r^2-4r+8=0.$$

得到

$$r=2\pm 2i.$$

右端拆成两部分。

第一部分：

$$e^{2x}.$$

对应复参数只是

$$2,$$

并不是特征根，因此不共振：

$$A{e}^{2x}.$$

第二部分：

$$e^{2x}\cos 2x.$$

对应

$$2+2i,$$

恰好是特征根，而且是单根。

所以需要乘一次 x：

$$x{e}^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x).$$

最终特解形式：

$$\boxed{y_p=A{e}^{2x}+x{e}^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x)}.$$

这是“设特解”选择题最经典的套路之一。

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十八、反向考法：不给方程的系数，而给出一个特解

这是近年来、模拟题和强化题都很喜欢的考法。

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真题 11：2015 年由特解反推 a、b、c

来源：站内数学真题【2015-1-4 分】。

设

$$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=c{e}^x$$

有一个特解

$$y^{\ast }=\frac{1}{2}{e}^{2x}+\left(x-\frac{1}{3}\right)e^x.$$

记特征多项式

$$P(r)=r^2+ar+b.$$

右端只有

$$e^x.$$

但特解里却有

$$e^{2x}.$$

它不可能由右端制造出来，因此它必须属于齐次解：

$$P(2)=0.$$

同时特解中有

$$x{e}^x.$$

为什么会多一个 x？

因为发生了共振。

所以

$$P(1)=0.$$

于是特征根就是

$$1,2.$$

因此

$$P(r)=(r-1)(r-2)=r^2-3r+2.$$

所以

$$a=-3,b=2.$$

再代入指数部分，可以得到

$$c=-1.$$

最终

$$\boxed{a=-3,b=2,c=-1}.$$

这道题真正值得记住的不是答案，而是：

特解中出现“额外的指数函数” → 想齐次解； 特解中出现额外的 x → 想共振和特征根重数。

这种逆向思维以后非常容易继续出题。

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十九、欧拉方程：容易被漏复习

站内高阶微分方程明确单列了这一类，而且有 2004、2021 真题。

标准形式：

$$x^2{y}^{\prime \prime }+ax{y}^{\prime }+by=0.$$

最直接的方法：

$$y=x^m.$$

则

$$y^{\prime }=m{x}^{m-1},$$ $$y^{\prime \prime }=m(m-1)x^{m-2}.$$

代入即可得到关于 m 的代数方程：

$$m(m-1)+am+b=0.$$

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真题 12：2021 年欧拉方程

$$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-4y=0,$$

且

$$y(1)=1,y^{\prime }(1)=2.$$

设

$$y=x^m.$$

得到

$$m(m-1)+m-4=0.$$

即

$$m^2-4=0.$$

所以

$$m=\pm 2.$$

因此

$$y=C_1{x}^2+C_2{x}^{-2}.$$

初值：

$$C_1+C_2=1,$$ $$2C_1-2C_2=2.$$

得到

$$C_1=1,C_2=0.$$

所以

$$\boxed{y=x^2}.$$

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欧拉方程的另一种统一理解

令

$$x=e^t.$$

写成

$$y(x)=u(t).$$

则

$$x{y}^{\prime }=u^{\prime },$$ $$x^2{y}^{\prime \prime }=u^{\prime \prime }-u^{\prime }.$$

因此欧拉方程自动变成常系数方程。

这个方法在复杂欧拉方程、高阶欧拉方程中尤其好用。

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二十、线性微分方程“解的结构”：选择题高频陷阱

设线性微分算子为

$$L[y].$$

如果

$$L[y_1]=0,L[y_2]=0,$$

那么

$$L[C_1{y}_1+C_2{y}_2]=0.$$

但如果

$$L[y_1]=f,L[y_2]=f,$$

则

$$L[y_1-y_2]=0.$$

这句话特别重要：

$$\boxed{\text{同一个非齐次方程的两个特解之差，是对应齐次方程的解。}}$$

而不是“两个特解的任意线性组合都是特解”。

因为

$$L[C_1{y}_1+C_2{y}_2]=(C_1+C_2)f.$$

只有当

$$C_1+C_2=1$$

时，还是原来的非齐次方程。

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二十一、真题 13：2013 年，三组特解反推通解

来源：站内数学真题【2013-1-4 分】。

已知同一个二阶非齐次方程有三个特解：

$$y_1=e^{3x}-x{e}^{2x},$$ $$y_2=e^x-x{e}^{2x},$$ $$y_3=-x{e}^{2x}.$$

因为它们都是同一个非齐次方程的特解，所以

$$y_1-y_3=e^{3x}$$

以及

$$y_2-y_3=e^x$$

都是对应齐次方程的解。

而且二者线性无关。

所以齐次通解：

$$y_h=C_1{e}^{3x}+C_2{e}^x.$$

任取 y3 作为一个特解：

$$y_p=-x{e}^{2x}.$$

所以原方程通解：

$$\boxed{y=C_1{e}^{3x}+C_2{e}^x-x{e}^{2x}}.$$

这是解结构题最重要的标准模型。

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二十二、积分方程：核心思想只有一句话

想办法求导，把积分消掉。

但完整流程一定是：

整理积分 → 必要时换元 → 求导 → 得微分方程 → 从原积分方程找初值 → 解 ODE → 回原式检验。

最后一步不能省。

因为“对等式求导”有可能丢掉常数信息。

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二十三、真题 14：1991 年，上限和被积函数同时带换元

来源：站内数学真题【1991-12-3 分】。

$$f(x)={\int }_0^{2x}f\left(\frac{t}{2}\right)dt+\ln 2.$$

先不要直接求导。

令

$$u=\frac{t}{2}.$$

则

$$dt=2du.$$

积分变成

$$f(x)=2{\int }_0^{x}f(u)du+\ln 2.$$

再求导：

$$f^{\prime }(x)=2f(x).$$

原式令

$$x=0$$

得到

$$f(0)=\ln 2.$$

因此

$$\boxed{f(x)=\ln 2e^{2x}}.$$

这题体现积分方程第一类核心操作：

先把积分里的自变量统一成 f(t)，再求导。

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二十四、真题 15：2007 年，参数积分 + f'(t)

来源：站内数学真题【2007-4-10 分】。

$$f(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)f^{\prime }(t)dt+x^2.$$

原式立即给出

$$f(0)=0.$$

对 x 求导。

利用莱布尼茨公式，积分上限项中

$$(x^2-x^2)f^{\prime }(x)=0.$$

因此

$$f^{\prime }(x)=2x{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt+2x.$$

由于

$$f(0)=0,$$

所以

$${\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt=f(x).$$

得到

$$f^{\prime }-2xf=2x.$$

变成一阶线性方程。

积分因子：

$$e^{-x^2}.$$

所以

$$(f{e}^{-x^2}{)}^{\prime }=2x{e}^{-x^2}.$$

积分：

$$f{e}^{-x^2}=1-e^{-x^2}.$$

于是

$$\boxed{f=e^{x^2}-1}.$$

这就是典型的：

$$\boxed{\text{积分方程}\to \text{微分方程}}$$

综合题。

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二十五、二维积分方程：别害怕，本质仍然是同一套路

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真题 16：1997 年二重积分 + 微分方程

站内真题和李正元练习都收录了这一母题。

经过极坐标转换后，可以把二维积分化成类似

$$f(t)=e^{4\pi t^2}+8\pi {\int }_0^{t}uf(u)du.$$

对 t 求导：

$$f^{\prime }=8\pi t{e}^{4\pi t^2}+8\pi tf.$$

即

$$f^{\prime }-8\pi tf=8\pi t{e}^{4\pi t^2}.$$

积分因子：

$$e^{-4\pi t^2}.$$

于是

$$(f{e}^{-4\pi t^2}{)}^{\prime }=8\pi t.$$

由初值

$$f(0)=1$$

得到

$$\boxed{f(t)=(1+4\pi t^2)e^{4\pi t^2}}.$$

看上去是“二重积分题”，实际上：

$$\text{极坐标}\to \text{一元积分方程}\to \text{一阶线性 ODE}.$$

这正是考研喜欢的跨章节综合。

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二十六、微分方程应用题：大题区分度最高的部分

这一类题不要背具体题。

统一过程只有四步：

$$\boxed{\text{文字/几何条件}\to \text{写成 }x,y,y^{\prime }\to \text{形成 ODE}\to \text{初值 + 求解}}$$

真正难的是第二步。

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二十七、几何建模第一核心：切线

曲线

$$y=f(x)$$

在点

$$(x,y)$$

处的切线：

$$Y-y=y^{\prime }(X-x).$$

因此：

与 y 轴交点

令

$$X=0,$$

得到纵坐标

$$y-x{y}^{\prime }.$$

与 x 轴交点

令

$$Y=0,$$

得到

$$X=x-\frac{y}{y^{\prime }}.$$

这两个表达式必须熟。

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二十八、法线也必须熟

法线斜率：

$$-\frac{1}{y^{\prime }}.$$

方程：

$$Y-y=-\frac{1}{y^{\prime }}(X-x).$$

因此法线与 x 轴交点横坐标为

$$x+y{y}^{\prime }.$$

一旦题目说：

• 切线截距；
• 法线截距；
• 三角形面积；
• 截距相等；
• 距离关系；

基本就是把这些量代进去建立 ODE。

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二十九、真题 17：2017 年切线截距 = 法线截距

来源：站内数学真题【2017-2-11 分】。

条件化成

$$y-x{y}^{\prime }=x+y{y}^{\prime }.$$

整理：

$$(x+y)y^{\prime }=y-x.$$

于是

$$y^{\prime }=\frac{y-x}{x+y}.$$

右端只依赖 y/x，因此是齐次方程。

令

$$y=vx.$$

则

$$v+x{v}^{\prime }=\frac{v-1}{1+v}.$$

整理：

$$x{v}^{\prime }=-\frac{1+v^2}{1+v}.$$

所以

$$\frac{1+v}{1+v^2}dv=-\frac{dx}{x}.$$

积分：

$$\frac{1}{2}\ln (1+v^2)+\arctan v=-\ln |x|+C.$$

代回

$$v=\frac{y}{x},$$

得到

$$\boxed{\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)+\arctan \frac{y}{x}=C}.$$

如果改成极坐标

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,$$

则更漂亮：

$$\boxed{\ln r+\theta =C}.$$

这道题非常值得作为“几何建模 → 齐次方程”的母题。

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三十、积分建模：题目说明两个“累计量”相等，立刻求导

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真题 18：2008 年旋转曲面的面积与体积

站内题目的核心条件是：某段曲线旋转形成的侧面积和体积之间满足固定比例关系。

设曲线为

$$y=f(x),$$

则旋转体体积：

$$V(x)=\pi {\int }_0^x{f}^2(t)dt.$$

旋转曲面面积：

$$S(x)=2\pi {\int }_0^{x}f(t)\sqrt{1+[f^{\prime }(t){]}^2}dt.$$

题中给定

$$S=2V.$$

直接对 x 求导：

$$2\pi f\sqrt{1+(f^{\prime }{)}^2}=2\pi f^2.$$

假设

$$f>0,$$

则

$$\sqrt{1+(f^{\prime }{)}^2}=f.$$

又因为题目给曲线递增，所以

$$f^{\prime }>0.$$

因此

$$f^{\prime }=\sqrt{f^2-1}.$$

结合

$$f(0)=1,$$

可得

$$\boxed{f(x)=\cosh x}.$$

这种题最核心的经验：

只要等式两边都是“从固定点积到 x 的累计量”，第一反应就是对 x 求导。

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三十一、物理建模：只需要抓住基本物理定律

站内还收录了阻力、下沉、飞机着陆等问题。

例如阻力与速度成正比：

$$F=-kv.$$

根据牛顿第二定律：

$$m\frac{dv}{dt}=-kv.$$

因此

$$v=v_0{e}^{-\frac{k}{m}t}.$$

总滑行距离：

$$s={\int }_0^{\infty }v(t)dt=\frac{m{v}_0}{k}.$$

这种物理题的数学部分往往极简单，真正考：

$$\boxed{\text{会不会把物理条件翻译成微分方程。}}$$

站内 1998、2004 真题都有对应模型。

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三十二、一个近年非常值得防的综合方向：复合函数 → 微分方程

站内 2014 年真题有这样的题：

给

$$z=f(e^x\cos y),$$

再给 z 的若干偏导关系。

关键不是直接疯狂计算偏导。

令

$$u=e^x\cos y.$$

于是所有偏导最终都可以表示成

$$f(u),f^{\prime }(u),f^{\prime \prime }(u).$$

题目便从一个二元函数偏微分关系，降成普通微分方程。

站内一阶版本最后化成类似

$$f^{\prime }(u)-4f(u)=u,$$

另外还有二阶版本化为

$$f^{\prime \prime }(u)-4f(u)=u.$$

本质就是：

$$\boxed{\text{多元复合求导}+\text{常微分方程}}$$

而不是新知识。

可以认为这类综合方式今后仍然非常值得防。

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三十三、差分方程：模块标题里有，但数一/数二/数三要区分

站内模块名本身是“微分方程与差分方程”，不过目前站内可检索的模块 9 真题页面主要集中在微分方程，没有找到单独成体系的差分真题页。

这部分不要因此跳过：

**数学三历年大纲明确包括差分与差分方程，以及一阶常系数线性差分方程；数学一、数学二一般不把它作为对应重点。**教育部研招网历年数学三大纲也明确列出这一部分。

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三十四、差分是什么？

对数列

$$y_n,$$

一阶差分定义为

$$\Delta y_n=y_{n+1}-y_n.$$

类似于连续函数中的导数。

微分研究

$$\frac{dy}{dx},$$

差分研究

$$y_{n+1}-y_n.$$

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三十五、一阶常系数线性差分方程

最标准形式：

$$y_{n+1}=a{y}_n+b_n.$$

也可以写成

$$y_{n+1}-a{y}_n=b_n.$$

如果已知

$$y_0,$$

连续迭代可得到统一公式：

$$\boxed{y_n=a^n{y}_0+\sum _{k=0}^{n-1}{a}^{n-1-k}{b}_k}.$$

这个公式本质就是“离散版积分因子”。

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三十六、最常考的常数右端

如果

$$y_{n+1}=a{y}_n+b,$$

且

$$a\ne 1,$$

先找平衡值 y*：

$$y^{\ast }=a{y}^{\ast }+b.$$

所以

$$y^{\ast }=\frac{b}{1-a}.$$

然后令

$$z_n=y_n-y^{\ast }.$$

则

$$z_{n+1}=a{z}_n.$$

所以

$$z_n=a^n{z}_0.$$

最终

$$\boxed{y_n=\frac{b}{1-a}+\left(y_0-\frac{b}{1-a}\right)a^n}.$$

如果

$$|a|<1,$$

则

$$a^n\to 0,$$

因此

$$\boxed{y_n\to \frac{b}{1-a}}.$$

这就是差分方程里的“稳定平衡”。

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三十七、差分方程也有“共振”

这和微分方程非常像，是很值得拓展的一点。

例如：

$$a_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_n=3\cdot 2^{-n},$$

且

$$a_0=1.$$

注意右端

$$2^{-n}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$

恰好对应齐次方程

$$a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n$$

的模态。

因此存在离散版“共振”。

令

$$a_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n{z}_n.$$

代入：

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}(z_{n+1}-z_n)=3{\left(\frac{1}{2}\right)}^n.$$

所以

$$z_{n+1}-z_n=6.$$

因此

$$z_n=z_0+6n.$$

由

$$a_0=1$$

得到

$$z_0=1.$$

最终

$$\boxed{a_n=(1+6n)2^{-n}}.$$

可以看到它与常系数非齐次微分方程中的“共振乘 x”极其相似：

连续情形出现

$$x{e}^{\lambda x},$$

离散情形则出现

$$n{\lambda }^n.$$

这个对应关系很值得理解。

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三十八、可以认为最值得重点刷的真题母题

如果时间有限，不必把几十道题平均刷。优先掌握下面这些“能覆盖一整类”的题：

这些基本覆盖了模块 9 的主要命题骨架。

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三十九、结合李正元、张宇练习，真题之外最值得补什么？

站内练习题价值不在于“再刷几十个差不多的方程”，而是补真题没有充分覆盖的结构。

李正元部分比较值得补：

伯努利方程、可降阶方程、积分方程、解的结构。

例如前面讲的

$$y^{\prime }-3xy=x{y}^2$$

就是很标准的伯努利训练。

张宇 1000 题更值得用来强化：

• 由通解反推微分方程；
• 高阶特征根；
• 非齐次共振；
• 积分方程与微分方程结合；
• 一眼识别乘积导数。

例如站内有题直接给出通解

$$C_1+e^x(C_2\cos 2x+C_3\sin 2x),$$

要求反推出三阶微分方程。

从解立刻知道特征根：

$$0,1\pm 2i.$$

所以特征多项式

$$r[(r-1{)}^2+4].$$

展开：

$$r^3-2r^2+5r.$$

因此方程：

$$\boxed{y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+5y^{\prime }=0}.$$

这种题非常适合训练“从解看根”。

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四十、可以认为很有可能继续发展的 4 种新考法

这些不是说“预测一定考”，而是从现有真题结构自然延伸出来的训练方向。

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预测 1：参数稳定性 + 非齐次共振一起考

例如：

$$y^{\prime \prime }-2a{y}^{\prime }+(a^2+1)y=e^{ax}\cos x.$$

齐次特征根：

$$r=a\pm i.$$

右端对应的复指数正好也是

$$a+i.$$

因此发生一次共振，特解必须设为

$$y_p=x{e}^{ax}(A\cos x+B\sin x).$$

如果再问所有解在正半轴可积，则还需

$$\boxed{a<0}.$$

一题同时融合：

特征根 + 共振 + 参数 + 反常积分。

这与 2017、2025 真题的组合方向非常自然。

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预测 2：更加隐蔽的积分方程

例如：

$$f(x)=1+{\int }_0^{x^2}f(\sqrt{t})dt,x\ge 0.$$

令

$$t=u^2,$$

则

$$dt=2udu.$$

所以

$$f(x)=1+2{\int }_0^{x}uf(u)du.$$

求导：

$$f^{\prime }=2xf.$$

又

$$f(0)=1.$$

因此

$$\boxed{f(x)=e^{x^2}}.$$

这就是 1991、1997、2007 积分方程的自然升级版。

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预测 3：伯努利 + 初值 + 解的存在区间

例如：

$$y^{\prime }=\frac{y}{x}+x{y}^2,y(1)=1.$$

令

$$z=\frac{1}{y}.$$

得到

$$z^{\prime }+\frac{1}{x}z=-x.$$

积分因子：

$$x.$$

所以

$$(xz{)}^{\prime }=-x^2.$$

积分：

$$xz=-\frac{x^3}{3}+C.$$

初值给

$$C=\frac{4}{3}.$$

所以

$$z=\frac{4}{3x}-\frac{x^2}{3}.$$

因此

$$\boxed{y=\frac{3x}{4-x^3}}.$$

如果继续问经过 x=1 的最大存在区间，就必须注意

$$4-x^3\ne 0.$$

所以还会继续考解的定义域。

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预测 4：差分方程 + 极限/经济模型

例如：

$$x_{n+1}=0.8x_n+20.$$

平衡状态满足

$$L=0.8L+20.$$

因此

$$L=100.$$

所以

$$x_n-100=0.8^n(x_0-100).$$

最终

$$\boxed{x_n=100+(x_0-100)0.8^n}.$$

并且

$$\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=100}.$$

对于数学三，很容易包装成库存、资本、折旧、人口、投入产出等经济问题。

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四十一、模块 9 最重要的“识别词典”

以后做题时建议形成这些条件反射：

这张表其实就是模块 9 的“做题导航”。

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四十二、最容易丢分的 10 个细节

1. 齐次代换后忘记

$$y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }.$$

2. 分离变量时除掉 y，忘记检查

$$y=0$$

是不是特殊解。

3. 一阶线性方程 P(x) 的符号写错，导致积分因子整体错误。

4. 待定系数法里“看到 RHS 就乘 x”，实际上只有发生共振才乘。

5. 共振乘 x 的次数不是固定一次，而是对应特征根的重数。

6. 同一非齐次方程两个特解的差是齐次解，不是任意线性组合都是原非齐次方程的解。

7. 积分方程求导之后忘了回原式找初值。

8. 应用题直接开始积分，却没有先把切线、法线、面积、力学关系写出来。

9. “所有解有界”“所有解趋 0”“积分收敛”是三种不同的特征根条件。

10. 欧拉方程中的 x 通常有区间限制，例如

$$x>0,$$

尤其使用

$$t=\ln x$$

时不能忽略。

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四十三、最后把整个模块压缩成一套真正能上考场的方法

做任何模块 9 题，建议脑中只运行下面这条流水线：

第一步：先判断阶数

一阶还是高阶？

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第二步：判断“结构”，而不是看长相

一阶优先找：

$$\text{可分离}\to \text{齐次}\to \text{线性}\to \text{伯努利}\to \text{特殊代换}.$$

高阶优先找：

$$\text{可降阶}\to \text{常系数}\to \text{欧拉}.$$

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第三步：看有没有更短的整体结构

特别检查：

$$(xy{)}^{\prime },$$ $${\left(\frac{y}{x}\right)}^{\prime },$$ $$(y{y}^{\prime }{)}^{\prime },$$

以及各种平方、乘积的微分。

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第四步：如果是常系数线性方程，所有问题都转化成“根”

通解：

$$\leftrightarrow \text{特征根}.$$

有界：

$$\leftrightarrow \mathrm{Re}r.$$

衰减：

$$\leftrightarrow \mathrm{Re}r<0.$$

共振：

$$\leftrightarrow \text{RHS 对应的复指数是否为特征根}.$$

已知特解反推方程：

$$\leftrightarrow P(r).$$

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第五步：积分方程和应用题，不要怕“外壳”

积分方程：

$$\boxed{\text{求导}}$$

几何题：

$$\boxed{\text{切线、法线、截距}}$$

面积体积题：

$$\boxed{\text{先写积分，再求导}}$$

物理题：

$$\boxed{\text{基本物理规律}\to ODE}$$

最终绝大多数还是退化成前面学过的一阶或二阶方程。

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一句话总结模块 9

微分方程真正考的不是“背了多少种解法”，而是能否把陌生问题还原成少数几个标准结构。

从站内几十年真题来看，最值得反复训练的主线其实就是：

$$\boxed{\text{识别结构}\to \text{降维/换元}\to \text{标准方程}\to \text{利用初值}\to \text{检查定义域与特殊解}}$$

而近几年最需要额外加强的是：

$$\boxed{\text{特征根}+\text{参数}+\text{收敛/有界性}}$$

以及

$$\boxed{\text{积分/几何/多元函数}+\text{微分方程}}$$

这两个综合方向。站内 2023—2025 的题已经非常明显地体现了这种趋势。