高等数学模块 10：常数项级数（数一、数三）

本章围绕**常数项级数（数一、数三）**展开，以考研数学真题为主线，并参考高质量练习题进行补充，按照“题型识别 → 核心方法 → 代表题 → 易错点 → 变式拓展”的方式组织。

一、先建立模块10的总框架

面对任何常数项级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n,$$

不要一上来想“用比值还是比较”。

正确的思维顺序应该是：

$$\boxed{\text{先看通项}\to \text{再看符号}\to \text{再确定参照级数}\to \text{最后选择判别法}}$$

具体可以形成下面这套考场流程。

第一步：检查最基本的必要条件

先算

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n.$$

若

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\ne 0$$

或者极限不存在，则立即得到

$$\boxed{\sum a_n\text{ 发散}}.$$

但一定记住反过来不成立：

$$a_n\to 0$$

完全不能说明级数收敛。

典型反例就是

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}.$$

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第二步：判断级数是哪一类

如果最终

$$a_n\ge 0,$$

进入正项级数体系。

如果有

$$(-1{)}^n$$

或能够化为交错形式，考虑莱布尼茨判别法。

如果符号很复杂，优先研究

$$\sum |a_n|.$$

一旦证明

$$\sum |a_n|<\infty ,$$

就立即得到

$$\boxed{\sum a_n\text{ 绝对收敛}}.$$

如果绝对值级数发散，再考虑原级数是否通过交错、抵消等方式收敛。

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二、必须滚瓜烂熟的基础知识

1. 级数收敛的真正定义

设部分和

$$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k.$$

所谓

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$$

收敛，就是说数列

$$\{S_n\}$$

存在有限极限：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S.$$

所以级数问题的本质实际上是：

部分和数列是否收敛。

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2. 部分和有界只是什么条件？

李正元练习题中直接考了：

若 $S_n$ 是级数 $\sum a_n$ 的部分和，则 $S_n$ 有界是级数收敛的什么条件？

答案是：

$$\boxed{\text{必要但不充分}}$$

因为：

$$S_n\text{ 收敛}\Rightarrow S_n\text{ 有界}.$$

但例如

$$1-1+1-1+\cdots$$

的部分和满足

$$S_{2n}=0,S_{2n-1}=1,$$

虽然有界，却不收敛。

这是非常重要的逻辑陷阱。

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三、题型一：由部分和、奇偶项、分组直接求级数

考频：中等，基础题。

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代表真题：1991-12，3分

已知

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n=2,$$

以及

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n-1}=5,$$

求

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n.$$

站内答案为 $8$。

解法

记

$$S_o=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n-1},$$ $$S_e=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}.$$

于是

$$S_o-S_e=2,$$

而

$$S_o=5.$$

所以

$$S_e=3.$$

最终

$$\sum a_n=S_o+S_e=8.$$

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这一题真正要掌握什么？

遇到：

• 奇数项；
• 偶数项；
• 交错项；
• $a_{2n-1}\pm a_{2n}$；

立即想到拆成两个基本量：

$$O=\sum a_{2n-1},$$ $$E=\sum a_{2n}.$$

于是：

$$\sum a_n=O+E,$$ $$\sum (-1{)}^{n-1}{a}_n=O-E.$$

本质上就是一个二元一次方程组。

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四、题型二：级数的加减、平移与分组

这是模块10非常爱考的抽象性质题。

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1. 增减有限项不改变敛散性

如果

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$$

收敛，则

$$\sum _{n=100}^{\infty }{a}_n$$

一定收敛。

反过来也成立。

因此：

$$\boxed{\text{研究级数敛散性时，有限个前项没有意义}}$$

这是后面做泰勒展开、等价无穷小的重要理论基础。

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2. 收敛级数可以做线性运算

若

$$\sum a_n,\sum b_n$$

都收敛，则

$$\sum (\lambda a_n+\mu b_n)$$

必收敛。

但是：

$$\sum a_n,\sum b_n$$

都发散，

完全不能推出

$$\sum (a_n+b_n)$$

发散。

1987年真题就直接考过：

两个发散级数相加是否必发散？

显然不是。

取

$$a_n=\frac{1}{n},b_n=-\frac{1}{n},$$

则两者都发散，但

$$a_n+b_n=0.$$

所以和级数收敛。

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五、题型三：分组级数——一个极容易出错的方向问题

代表真题：2011-3，4分

如果

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$$

收敛，那么

$$\sum _{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}+u_{2n})$$

一定收敛。

因为它的前 $N$ 项部分和就是

$$S_{2N}.$$

而如果

$$S_N\to S,$$

当然有

$$S_{2N}\to S.$$

所以：

$$\boxed{\text{原级数收敛}\Rightarrow \text{有限项分组后的级数收敛}}$$

但反方向不成立。

例如

$$1-1+1-1+\cdots$$

分成

$$(1-1)+(1-1)+\cdots =0+0+\cdots$$

以后收敛。

但是原级数显然不收敛。

这正是2004、2011等真题反复考查的逻辑。

必背结论

$$\boxed{\text{收敛级数可以任意有限分组}}$$

但

$$\boxed{\text{分组后的级数收敛，不能反推原级数收敛}}$$

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六、正项级数：模块10第一核心

对于

$$a_n\ge 0,$$

部分和

$$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$$

一定单调增加。

因此：

$$\boxed{\sum a_n\text{ 收敛}⟺\{S_n\}\text{ 有上界}}$$

注意这个结论只因为是正项级数。

一般项级数不能这么说。

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七、正项级数最重要的参照系：$p$ 级数

必须条件反射：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$$

满足

$$\boxed{p>1\Rightarrow \text{收敛}}$$

而

$$\boxed{p\le 1\Rightarrow \text{发散}}$$

其中

$$\sum \frac{1}{n}$$

是整个级数章节最重要的“发散标尺”。

绝大多数正项级数题最后都在问：

它到底更像 $1/n$，还是更像 $1/n^{1+\epsilon }$？

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八、题型四：等价无穷小 / 极限比较——考研最高频方法之一

如果

$$a_n>0,b_n>0$$

且

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=L,0<L<\infty ,$$

那么

$$\boxed{\sum a_n,\sum b_n\text{ 同敛散}}$$

所以最常见套路就是：

$$a_n\sim \frac{C}{n^p}.$$

于是直接根据 $p$ 判断。

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高频等价关系

当 $x\to 0$ 时：

$$\sin x\sim x,$$ $$\tan x\sim x,$$ $$\ln (1+x)\sim x,$$ $$e^x-1\sim x,$$ $$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2},$$ $$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x.$$

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九、代表真题：2017-3，参数消去低阶项

真题：

若

$$\sum _{n=2}^{\infty }\left[\sin \frac{1}{n}-k\ln \left(1-\frac{1}{n}\right)\right]$$

收敛，求 $k$。

答案：

$$\boxed{k=-1}.$$

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为什么这题特别重要？

它代表一种极高频题型：

参数不是直接通过判别法求，而是先让发散的低阶项消失。

展开：

$$\sin \frac{1}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{6n^3}+O\left(\frac{1}{n^5}\right),$$

而

$$\ln \left(1-\frac{1}{n}\right)=-\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{3n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right).$$

所以

$$a_n=\frac{1+k}{n}+\frac{k}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right).$$

如果

$$1+k\ne 0,$$

那么

$$a_n\sim \frac{1+k}{n},$$

对应调和级数，因此发散。

故必须

$$1+k=0.$$

即

$$\boxed{k=-1}.$$

此时首项变成

$$O\left(\frac{1}{n^2}\right),$$

所以收敛。

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十、“参数级数”统一解法

以后看到

$$\sum \left[f\left(\frac{1}{n}\right)+kg\left(\frac{1}{n}\right)\right]$$

不要急着判别。

首先泰勒展开：

$$a_n=\frac{A(k)}{n}+\frac{B(k)}{n^2}+\frac{C(k)}{n^3}+\cdots$$

然后找第一个不为零的系数。

如果第一个非零项是

$$\frac{C}{n^p},$$

那么：

$$p>1\Rightarrow \text{收敛},$$ $$p\le 1\Rightarrow \text{发散}.$$

所以参数题本质是：

$$\boxed{\text{用参数消掉所有导致发散的低阶项}}$$

这也是可以认为今后仍然最值得预测的命题方向之一。

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十一、题型五：比值判别法——看到阶乘、指数、$n^n$ 优先考虑

设

$$a_n>0,$$

若

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=q,$$

则：

$$q<1\Rightarrow \sum a_n\text{ 收敛},$$ $$q>1\Rightarrow \sum a_n\text{ 发散}.$$

而

$$q=1$$

时：

$$\boxed{\text{比值判别法失效}}$$

不能判断。

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代表真题：1988-4，3分

讨论

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{n+1}}{(n+1)!}$$

的敛散性。

令

$$a_n=\frac{n^{n+1}}{(n+1)!}.$$

计算

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}.$$

最终极限为

$$\frac{1}{e}<1.$$

所以级数收敛。

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什么时候优先比值法？

看到这些结构：

$$n!,$$ $$a^n,$$ $$n^n,$$ $$\frac{n!}{n^n},$$ $$\frac{a^n{n}^p}{n!},$$

优先考虑比值法。

因为相邻项往往会大量约掉。

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十二、根值判别法

如果

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}=q,$$

则同样：

$$q<1\Rightarrow \sum a_n\text{ 收敛},$$ $$q>1\Rightarrow \sum a_n\text{ 发散}.$$

特别适合

$$a_n=(b_n{)}^n.$$

例如

$${\left(1+\frac{1}{a_n}\right)}^n.$$

1998年真题就把交错级数条件反过来推 $a_n$ 的极限，再对这种 $n$ 次幂型正项级数使用根值思维。

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十三、比较判别法——最基本但也是综合题最强的方法

若最终有

$$0\le a_n\le b_n,$$

并且

$$\sum b_n$$

收敛，则

$$\sum a_n$$

收敛。

反方向：

若

$$0\le b_n\le a_n$$

而

$$\sum b_n$$

发散，则

$$\sum a_n$$

发散。

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千万不要背反

正确方向是：

$$\boxed{\text{小于一个收敛级数}\Rightarrow \text{收敛}}$$

以及

$$\boxed{\text{大于一个发散级数}\Rightarrow \text{发散}}$$

而：

“小于一个发散级数”什么也说明不了。

例如

$$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n},$$

但前者收敛，后者发散。

1996年真题专门用选项考过这种方向问题。

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十四、题型六：由方程定义 $a_n$，先估计再比较

这是大题中很重要的一类。

代表真题：2004-1，11分

设 $x_n$ 是方程

$$x^n+nx-1=0$$

的正根。

证明正根唯一，并证明当

$$\alpha >1$$

时

$$\sum x_n^{\alpha }$$

收敛。

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标准思路

真正目的不是求 $x_n$ 的精确表达式。

而是估计。

设

$$f_n(x)=x^n+nx-1.$$

有

$$f_n(0)=-1<0.$$

而

$$f_n\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n^n}>0.$$

所以存在正根，并且

$$0<x_n<\frac{1}{n}.$$

再利用函数严格单调可证明唯一。

于是：

$$0<x_n^{\alpha }<\frac{1}{n^{\alpha }}.$$

当

$$\alpha >1$$

时

$$\sum \frac{1}{n^{\alpha }}$$

收敛，因此

$$\sum x_n^{\alpha }$$

收敛。

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这一类型的统一模板

如果题目用：

• 方程；
• 积分；
• 递推关系；
• 隐函数；

定义一个 $a_n$，然后问

$$\sum a_n$$

是否收敛：

通常不要试图精确求 $a_n$。

而要问：

$$\boxed{a_n\text{ 能不能压到 }\frac{C}{n^p}\text{ 下面？}}$$

或者

$$\boxed{a_n\text{ 能不能与 }\frac{C}{n^p}\text{ 做等价比较？}}$$

这是非常重要的大题思维。

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十五、题型七：泰勒公式 + 抽象函数 $f(1/n)$

这是高质量大题。

代表真题：1994-12，8分

已知 $f$ 在 $0$ 的邻域有二阶连续导数，并且

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=0.$$

证明

$$\sum _{n=1}^{\infty }f\left(\frac{1}{n}\right)$$

绝对收敛。

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第一步：推出两个低阶系数为0

因为

$$\frac{f(x)}{x}\to 0,$$

首先

$$f(x)\to 0.$$

连续性给出

$$f(0)=0.$$

再由导数定义：

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=0.$$

因此：

$$f(0)=f^{\prime }(0)=0.$$

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第二步：泰勒展开

在 $0$ 附近：

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(\xi )x^2.$$

于是

$$f(x)=\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(\xi )x^2.$$

因为 $f^{\prime \prime }$ 在邻域连续，所以有界：

$$|f^{\prime \prime }(x)|\le M.$$

于是

$$|f(x)|\le C{x}^2.$$

令

$$x=\frac{1}{n},$$

得到

$$\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|\le \frac{C}{n^2}.$$

所以

$$\sum \left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|$$

收敛。

故原级数绝对收敛。

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十六、这个题型可以直接推广

如果能证明：

$$f(0)=f^{\prime }(0)=\cdots =f^{(m-1)}(0)=0,$$

而 $f^{(m)}$ 有界，则

$$f(x)=O(x^m).$$

于是

$$f\left(\frac{1}{n}\right)=O\left(\frac{1}{n^m}\right).$$

因此当

$$m>1$$

时自然得到级数绝对收敛。

所以看到

$$\sum f\left(\frac{1}{n}\right)$$

时，要形成条件反射：

$$\boxed{\text{研究 }f(x)\text{ 在 }x=0\text{ 的最低非零阶}}$$

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十七、题型八：积分定义的 $a_n$

真题中也出现过。

例如1999年定义

$$a_n={\int }_0^{\pi /4}{\tan }^{n}xdx.$$

利用

$$1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$$

可以得到

$$a_n+a_{n+2}={\int }_0^{\pi /4}{\tan }^{n}x{\sec }^{2}xdx.$$

令

$$t=\tan x,$$

得到

$$a_n+a_{n+2}={\int }_0^1{t}^{n}dt=\frac{1}{n+1}.$$

进而有

$$0<a_n<\frac{1}{n}.$$

因此对于任意

$$\lambda >0,$$

有

$$0<\frac{a_n}{n^{\lambda }}<\frac{1}{n^{1+\lambda }},$$

从而对应级数收敛。

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这一类的本质

积分型数列：

$$a_n=\int f_n(x)dx$$

通常做三件事之一：

1. 找递推关系；
2. 找上下界；
3. 求渐近阶。

最后还是转化成：

$$a_n=O\left(\frac{1}{n^p}\right)$$

或

$$a_n\sim \frac{C}{n^p}.$$

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十八、题型九：两个平方级数推出乘积绝对收敛

非常经典。

若

$$\sum a_n^2$$

和

$$\sum b_n^2$$

都收敛，证明

$$\sum a_n{b}_n$$

绝对收敛。

1988年真题、1996年选择题都出现过这一结构。

由

$$(|a_n|-|b_n|{)}^2\ge 0$$

得到

$$2|a_n{b}_n|\le a_n^2+b_n^2.$$

于是

$$|a_n{b}_n|\le \frac{1}{2}(a_n^2+b_n^2).$$

由于

$$\sum (a_n^2+b_n^2)$$

收敛，所以

$$\sum |a_n{b}_n|$$

收敛。

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更高层理解

其实这是柯西—施瓦茨不等式：

$$\sum _{n=1}^N|a_n{b}_n|\le {\left(\sum _{n=1}^N{a}_n^2\right)}^{1/2}{\left(\sum _{n=1}^N{b}_n^2\right)}^{1/2}.$$

所以看到：

$$a_n^2,b_n^2,a_n{b}_n$$

这三个东西同时出现时，第一反应：

$$\boxed{\text{柯西不等式}}$$

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十九、题型十：一个收敛级数的通项必有界——“有界因子法”

这是抽象级数题中极其重要的隐藏工具。

如果

$$\sum b_n$$

收敛，则必然：

$$b_n\to 0.$$

于是

$$\{b_n\}$$

一定有界。

假设

$$|b_n|\le M.$$

如果另外

$$\sum |a_n|$$

收敛，则

$$|a_n{b}_n|\le M|a_n|.$$

从而

$$\sum |a_n{b}_n|$$

收敛。

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代表真题：2019-3

题目给出某个加权后的 $u_n$ 级数绝对收敛，而某个加权后的 $v_n$ 级数条件收敛，最后问乘积级数。

核心就是：

条件收敛虽然不是绝对收敛，但它的通项仍趋0，因此对应数列有界。

然后：

$$\boxed{\text{绝对可求和序列}\times \text{有界序列}}$$

仍然绝对可求和。

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二十、一般项级数：模块10第二核心

一般项级数的标准流程一定要固定下来：

$$\boxed{\sum a_n\to \sum |a_n|\to \text{若绝对值发散，再研究原级数}}$$

这是考场最稳的方法。

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二十一、绝对收敛与条件收敛

如果

$$\sum |a_n|$$

收敛，则称

$$\sum a_n$$

绝对收敛。

如果

$$\sum a_n$$

收敛，但

$$\sum |a_n|$$

发散，则称条件收敛。

所以逻辑关系是：

$$\boxed{\text{绝对收敛}\Rightarrow \text{收敛}}$$

反过来错误。

经典例子：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$$

收敛。

但

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$$

发散。

所以是条件收敛。

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二十二、题型十一：直接判断条件收敛

代表真题：1987-12

对 $k>0$，讨论

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{n+k}{n^2}.$$

拆成

$$\sum \frac{(-1{)}^n}{n}+k\sum \frac{(-1{)}^n}{n^2}.$$

第一部分条件收敛，第二部分绝对收敛。

因此原级数收敛。

但是取绝对值后：

$$\frac{n+k}{n^2}=\frac{1}{n}+\frac{k}{n^2}.$$

含有

$$\frac{1}{n}$$

这一发散主项，因此绝对值级数发散。

最终：

$$\boxed{\text{条件收敛}}$$

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二十三、莱布尼茨判别法

对于

$$\sum (-1{)}^{n-1}{a}_n,a_n\ge 0,$$

若：

$$a_n\to 0,$$

并且从某项开始

$$a_{n+1}\le a_n,$$

则交错级数收敛。

注意：

$$\boxed{\text{“趋于0”绝不能漏}}$$

2013年真题就专门设计了：

若 $a_n>a_{n+1}$，是否足以推出交错级数收敛？

不够。

例如

$$a_n=1+\frac{1}{n},$$

虽然严格递减，但

$$a_n\to 1\ne 0,$$

所以级数通项不趋0，必发散。

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二十四、交错级数不要求从第一项开始单调

这是另一个经常被误解的地方。

级数敛散性不受有限项影响。

所以只要存在 $N$，当 $n>N$ 时：

$$a_{n+1}\le a_n,$$

并且

$$a_n\to 0,$$

就够了。

因此考研题里经常不会要求证明“对所有 $n$”单调，只要求证明：

$$\boxed{\text{充分大的 }n\text{ 后单调}}$$

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二十五、代表真题：1995-12

令

$$u_n=(-1{)}^n\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right).$$

真题比较

$$\sum u_n$$

与

$$\sum u_n^2.$$

因为

$$\ln (1+x)\sim x,$$

所以

$$\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\sim \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

交错级数满足莱布尼茨条件，所以

$$\sum u_n$$

收敛。

而

$$u_n^2\sim \frac{1}{n},$$

所以

$$\sum u_n^2$$

发散。

这道题非常漂亮地说明：

$$\boxed{\sum a_n\text{ 收敛}\nRightarrow \sum a_n^2\text{ 收敛}}$$

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二十六、题型十二：利用“人为错位”产生抵消

代表真题：2002-1，3分

设

$$\frac{u_n}{n}\to 1.$$

讨论

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right).$$

令

$$c_n=\frac{1}{u_n}.$$

则

$$c_n\sim \frac{1}{n}.$$

考虑部分和：

$$S_N=\sum _{n=1}^N(-1{)}^{n+1}(c_n+c_{n+1}).$$

展开以后中间项大量抵消：

$$S_N=c_1+(-1{)}^{N+1}{c}_{N+1}.$$

由于

$$c_{N+1}\to 0,$$

所以

$$S_N\to c_1.$$

因此原级数收敛。

但是

$$|c_n+c_{n+1}|\sim \frac{2}{n},$$

所以绝对值级数发散。

故：

$$\boxed{\text{条件收敛}}$$

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这种题千万不要硬套莱布尼茨

它的关键是：

$$\boxed{\text{直接写部分和，看有没有错位消项}}$$

见到

$$a_n+a_{n+1},$$ $$a_n-a_{n+1},$$ $$(-1{)}^n(a_n+a_{n+1}),$$

要高度警觉。

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二十七、题型十三：参数范围 + 条件/绝对收敛

代表真题：2012-3，4分

真题同时给出两个参数级数，一个要求绝对收敛，一个要求条件收敛，求 $\alpha$ 范围。

核心步骤不是计算级数和，而是把两边分别转化成 $p$ 级数条件。

比如若某绝对值级数满足

$$|a_n|\sim \frac{1}{n^{\alpha -1/2}},$$

要绝对收敛就要求

$$\alpha -\frac{1}{2}>1,$$

即

$$\alpha >\frac{3}{2}.$$

若另一个交错级数形如

$$\sum \frac{(-1{)}^n}{n^{2-\alpha }},$$

要“条件收敛”，则需要：

原级数收敛：

$$2-\alpha >0,$$

但绝对值发散：

$$2-\alpha \le 1.$$

最后取两个条件的交集。

该真题最终得到：

$$\boxed{\frac{3}{2}<\alpha <2}.$$

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二十八、参数型“条件收敛”必须拆成两个条件

看到：

求参数使级数条件收敛

不要只证明它收敛。

必须同时满足：

$$\boxed{\{\begin{array}{l}\sum a_n\text{ 收敛},\\ \sum |a_n|\text{ 发散}.\end{array}}$$

而“绝对收敛”只需要：

$$\sum |a_n|\text{ 收敛}.$$

这个区别很容易造成参数区间端点错误。

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二十九、题型十四：有界振荡因子 × 可求和正项

代表真题：2016-3

讨论

$$\sum \left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\sin (n+k).$$

利用

$$|\sin (n+k)|\le 1,$$

有

$$\left|\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\sin (n+k)\right|\le \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}.$$

而右侧是望远镜级数：

$$\sum _{n=1}^N\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}.$$

所以绝对收敛。

---

通用规律

如果

$$|b_n|\le M,$$

而

$$\sum a_n$$

是收敛正项级数，那么：

$$\sum a_n{b}_n$$

绝对收敛，因为

$$|a_n{b}_n|\le M{a}_n.$$

例如：

$$\sin n,\cos n,(-1{)}^n$$

这些因子本身往往根本不用研究。

只利用：

$$|\sin n|\le 1.$$

---

三十、题型十五：2023真题——抽象绝对收敛关系

这是很值得重视的新型抽象题。

已知：

$$a_n<b_n,$$

且

$$\sum a_n,\sum b_n$$

都收敛。

问

$$\sum a_n$$

绝对收敛与

$$\sum b_n$$

绝对收敛是什么关系。

真题答案：

$$\boxed{\text{充要条件}}$$

---

为什么？

令

$$c_n=b_n-a_n>0.$$

因为

$$\sum a_n,\sum b_n$$

均收敛，所以

$$\sum c_n=\sum (b_n-a_n)$$

也收敛。

又因为

$$c_n>0,$$

所以它本身就是绝对收敛：

$$\sum |c_n|=\sum c_n<\infty .$$

而

$$b_n=a_n+c_n.$$

如果

$$\sum |a_n|$$

收敛，则

$$|b_n|\le |a_n|+c_n,$$

所以

$$\sum |b_n|$$

收敛。

反方向：

$$a_n=b_n-c_n$$

同理成立。

于是二者绝对收敛等价。

---

这道题反映的命题趋势

不要简单认为：

$$a_n<b_n$$

就是“比较判别法”。

因为 $a_n,b_n$ 可能有正有负。

真正有用的是：

$$c_n=b_n-a_n>0.$$

再利用：

$$\sum c_n$$

收敛。

也就是：

$$\boxed{\text{把不等式改造出一个正项收敛级数}}$$

这是很高质量的抽象级数思想。

---

三十一、2025真题值得重点看：复杂表达式先“识别隐藏交错结构”

2025年真题考了：

$$\sum \sin \left(\frac{n^3\pi }{n^2+1}\right).$$

关键不是直接看正弦。

因为：

$$\frac{n^3}{n^2+1}=n-\frac{n}{n^2+1}.$$

所以：

$$\sin \left(n\pi -\frac{n\pi }{n^2+1}\right)=(-1{)}^{n+1}\sin \frac{n\pi }{n^2+1}.$$

于是隐藏的交错级数出现了。

并且：

$$\sin \frac{n\pi }{n^2+1}\sim \frac{\pi }{n}.$$

因此：

• 莱布尼茨保证原级数收敛；
• 绝对值与调和级数同阶，发散。

故：

$$\boxed{\text{条件收敛}}.$$

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三十二、2025另一题：泰勒展开判断绝对收敛

同一真题还出现：

$$\frac{1}{n^{2/3}}-\tan \frac{1}{n^{2/3}}.$$

设

$$x=\frac{1}{n^{2/3}}.$$

因为

$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5),$$

所以

$$x-\tan x=-\frac{x^3}{3}+O(x^5).$$

而

$$x^3=\frac{1}{n^2}.$$

所以通项本质上是

$$O\left(\frac{1}{n^2}\right).$$

因此即使前面再乘

$$(-1{)}^n,$$

也已经不重要，因为它绝对收敛。

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三十三、2025-3：非常典型的“主项决定条件收敛”

站内最新真题还整理了：

$$\sum (-1{)}^n\left[\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{k}{n^2}\right)\right].$$

因为

$$\ln \left(1+\frac{k}{n^2}\right)=\frac{k}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^4}\right),$$

所以：

$$\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{k}{n^2}\right)\sim \frac{1}{n}.$$

原级数本质上是：

$$\sum \frac{(-1{)}^n}{n},$$

所以收敛。

但绝对值本质上：

$$\frac{1}{n},$$

所以发散。

因此条件收敛。

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三十四、这三道近年题说明未来最值得防什么

可将未来级数选择题重点预测成这四种组合：

预测方向1：隐藏交错

题目表面上没有

$$(-1{)}^n,$$

但通过

$$\sin (n\pi -x),$$ $$\cos (n\pi +x)$$

等变换出现交错。

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预测方向2：参数消低阶项

例如：

$$\sum \left[e^{1/n}-1-\frac{1}{n}-\frac{k}{n^2}\right].$$

展开：

$$e^{1/n}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}+\cdots$$

于是

$$a_n=\left(\frac{1}{2}-k\right)\frac{1}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right).$$

这种题会考：

• 收敛；
• 绝对收敛；
• 参数；
• 级数值。

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预测方向3：递推数列 + 差分级数

例如给：

$$x_{n+1}=f(x_n)$$

要求证明：

$$\sum |x_{n+1}-x_n|<\infty .$$

2016年真题已经有类似题。

常见办法：

利用中值定理：

$$|x_{n+1}-x_n|=|f(x_n)-f(x_{n-1})|\le q|x_n-x_{n-1}|,0<q<1.$$

于是：

$$|x_{n+1}-x_n|\le q^{n-1}|x_2-x_1|.$$

再与几何级数比较。

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预测方向4：绝对收敛与抽象不等式

例如：

$$\sum a_n,\sum b_n$$

已知收敛，又给

$$a_n\le b_n,$$ $$|a_n-b_n|\le c_n,$$ $$a_n{b}_n\ge 0$$

等条件，要求判断二者绝对收敛关系。

2023年的真题已经明确体现这个方向。

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三十五、练习题中最值得吸收的几类“真题拓展”

李正元练习题里有几种特别适合强化模块10。

1. 条件收敛拆正负部分

若

$$a_n>0,$$

且

$$\sum (-1{)}^{n-1}{a}_n$$

条件收敛。

设奇数项和：

$$O_N=\sum _{n=1}^N{a}_{2n-1},$$

偶数项和：

$$E_N=\sum _{n=1}^N{a}_{2n}.$$

由于交错级数收敛：

$$O_N-E_N$$

有界。

而因为不绝对收敛：

$$O_N+E_N\to +\infty .$$

所以：

$$O_N\to +\infty ,$$ $$E_N\to +\infty .$$

这是理解条件收敛的一个非常重要结论。

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2. 差分级数推出数列有界，再乘正项收敛级数

李正元证明题：

若

$$\sum (a_n-a_{n-1})$$

收敛，而且

$$\sum b_n$$

是收敛正项级数。

证明：

$$\sum a_n{b}_n$$

绝对收敛。

因为：

$$\sum _{n=1}^N(a_n-a_{n-1})=a_N-a_0.$$

左侧有极限，所以：

$$a_N$$

有极限。

因此：

$$|a_n|\le M.$$

于是：

$$|a_n{b}_n|\le M{b}_n.$$

故绝对收敛。

这道题的核心模式应该记下来：

$$\boxed{\text{某级数收敛}\Rightarrow \text{某数列有界}\Rightarrow \text{比较判别}}$$

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三十六、练习题里的高级比较技巧

李正元还给出了：

若

$$a_n>0,b_n>0,$$

并且

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \frac{b_{n+1}}{b_n},$$

则

$$\frac{a_n}{b_n}$$

单调不增。

因此存在常数 $C$，使

$$a_n\le C{b}_n.$$

从而：

$$\sum b_n\text{ 收敛}\Rightarrow \sum a_n\text{ 收敛}.$$

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这其实是比值判别法背后的思想

比值法不是魔法。

它本质上是在说：

如果长期满足

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le q<1,$$

那么：

$$a_n\le C{q}^n.$$

也就是：

$$a_n$$

最终被一个收敛几何级数压住。

所以理解这一点以后，比值判别就不需要死记。

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三十七、张宇强化题中值得补充的：积分判别

张宇1000题强化部分出现了对带 $\ln n$ 的正项级数使用积分判别的题。

例如典型的：

$$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln n{)}^p}.$$

这是重要临界型。

其结论：

$$\boxed{p>1\Rightarrow \text{收敛}}$$ $$\boxed{p\le 1\Rightarrow \text{发散}}$$

与普通 $p$ 级数很像，但临界结构是：

$$\frac{1}{n\ln n}.$$

特别值得记住：

$$\sum \frac{1}{n\ln n}$$

仍然发散。

而

$$\sum \frac{1}{n(\ln n{)}^2}$$

收敛。

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三十八、考研中判别法到底应该怎么选？

这是整个模块最重要的实战问题。

以后不要随机尝试。

建议形成下面的条件反射。

这张表基本就是模块10的“选武器系统”。

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三十九、最容易犯的10个错误

1.

$$a_n\to 0$$

不能推出

$$\sum a_n$$

收敛。

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2.

$$\sum a_n$$

收敛不能推出

$$\sum |a_n|$$

收敛。

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3.

正项比较判别的方向不能反。

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4.

比值极限为1时不能做结论。

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5.

根值极限为1同样不能做结论。

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6.

交错级数单调还不够，还需要：

$$a_n\to 0.$$

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7.

条件收敛题必须同时证明：

$$\sum a_n\text{ 收敛},$$

以及

$$\sum |a_n|\text{ 发散}.$$

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8.

分组：

$$\text{原级数收敛}\Rightarrow \text{分组级数收敛},$$

但反方向通常不成立。

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9.

一般项级数不能随便使用“大小比较”。

比如：

$$a_n\le b_n$$

对于符号不固定的级数，通常不能直接比较敛散性。

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10.

看到复杂函数不要直接判别。

例如：

$$\sin \frac{1}{n},\tan \frac{1}{n},\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$$

真正重要的是它们的最低非零阶。

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四十、一套“抽象级数万能逻辑库”

以后做选择题，可以不断尝试把条件翻译成这些东西。

如果：

$$\sum a_n\text{ 收敛},$$

则：

$$a_n\to 0,$$

所以：

$$\{a_n\}\text{ 有界}.$$

如果：

$$\sum |a_n|\text{ 收敛},$$

则：

$$\sum a_n\text{ 收敛}.$$

如果：

$$\sum a_n^2,\sum b_n^2$$

收敛，则：

$$\sum |a_n{b}_n|$$

收敛。

如果：

$$|a_n|\le M{b}_n,b_n\ge 0,\sum b_n<\infty ,$$

则：

$$\sum a_n$$

绝对收敛。

如果：

$$a_n\sim b_n>0,$$

则：

$$\sum a_n,\sum b_n$$

同敛散。

如果：

$$a_n=O\left(\frac{1}{n^p}\right),p>1,$$

则：

$$\sum |a_n|<\infty .$$

这一组结论非常适合处理抽象选择题。

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四十一、建议把模块10最终压缩成“三层认识”

第一层：最基础

必须会：

$$\sum \frac{1}{n^p},$$

比较判别，

比值判别，

根值判别，

莱布尼茨判别，

绝对/条件收敛。

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第二层：真正考研层

必须能把复杂通项化成：

$$\frac{C}{n^p}.$$

工具包括：

$$\text{等价无穷小},$$ $$\text{泰勒展开},$$ $$\text{裂项},$$ $$\text{不等式估计}.$$

这是模块10最核心的能力。

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第三层：高分层

面对：

• 抽象 $a_n,b_n$；
• 递推数列；
• 方程根；
• 积分数列；
• 条件收敛；
• 参数；
• 绝对收敛关系；

应学会先创造：

$$\boxed{\text{一个可以比较的正项级数}}$$

或者：

$$\boxed{\text{一个有界数列}}$$

或者：

$$\boxed{\text{一个 }1/n^p\text{ 主项}}$$

这三种东西一旦找到，绝大多数综合题就已经解决了。

---

四十二、模块10最终“考场算法”

以后遇到常数项级数，可以机械执行：

$$\boxed{\text{Step 1：先算 }{a}_n\to ?}$$

若不趋零，结束：发散。

然后：

$$\boxed{\text{Step 2：看符号}}$$

正项：

$$\to \text{比较 / 极限比较 / 比值 / 根值}.$$

交错：

$$\to \text{先绝对值，再莱布尼茨}.$$

复杂一般项：

$$\to \text{先 }|a_n|.$$

接下来：

$$\boxed{\text{Step 3：找主项}}$$

尝试：

$$a_n\sim \frac{C}{n^p}.$$

如果直接看不出来：

$$\to \text{泰勒展开}.$$

如果含阶乘指数：

$$\to \text{比值}.$$

如果含 $n$ 次幂：

$$\to \text{根值}.$$

如果含相邻项：

$$\to \text{写部分和}.$$

如果是抽象题：

$$\to a_n\to 0\to \text{有界}\to \text{比较}.$$

如果给

$$\sum a_n^2,$$

想到：

$$2|a_n{b}_n|\le a_n^2+b_n^2.$$

如果给参数：

$$\to \boxed{\text{消掉 }1/n\text{ 等发散主项}}.$$

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最后给模块10定一个优先级

按照站内真题数量和近年的命题形式，复习精力可这样安排：

★★★★★ 第一优先级：

$$\boxed{\text{等价/Taylor}+p\text{级数}+\text{绝对/条件收敛}}$$

★★★★★ 第一优先级：

$$\boxed{\text{抽象级数性质}}$$

尤其是有界性、比较、柯西不等式、分组、奇偶项。

★★★★☆：

$$\boxed{\text{莱布尼茨}+\text{隐藏交错}}$$

2025真题仍然在考。

★★★★☆：

$$\boxed{\text{递推/方程/积分定义数列}+\text{级数比较}}$$

这类尤其适合作为大题综合考法。

★★★☆☆：

比值法、根值法的纯计算题。基本方法必须熟，但真正有区分度的题往往还会再叠加其他知识。

★★☆☆☆：

纯定义、直接求部分和。这些一般不难，但不能丢分。

把整个模块10压成一句话，就是：

$$\boxed{\text{先找通项的真正数量级，再利用正项级数建立敛散性；}}$$ $$\boxed{\text{有符号时先研究绝对收敛，失败后再研究抵消。}}$$

这两句话真正掌握以后，模块10里看起来差别很大的题——Taylor型、参数型、交错型、抽象型、递推型、积分型——实际上都能统一到同一套框架里。