高等数学模块 6：定积分的概念、性质及计算

本章围绕定积分的概念、性质及计算展开，以考研数学真题为主线，并参考高质量练习题进行补充，按照“题型识别 → 核心方法 → 代表题 → 易错点 → 变式拓展”的方式组织。

一、模块 6 到底考什么：先建立完整地图

从站内收录的历年真题密度和近年命题方式看，建议把模块 6 的优先级理解成下面这样。

尤其要注意：模块 6 绝不是“会算原函数”就够了。

真正的考研积分题经常在考：

不直接求原函数，而是先改造积分。

这是这一模块最核心的意识。

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二、最先掌握的一层：定积分的几个底层性质

后面绝大多数技巧，本质都从这里长出来。

1. 牛顿—莱布尼茨公式

若 $F^{\prime }(x)=f(x)$，则

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$

但考试经常故意不给出显式的 $f(x)$，只说明某个函数是它的原函数。

例如说明

$$F^{\prime }(x)=f(x),$$

要求

$${\int }_a^{b}x{f}^{\prime }(x)dx.$$

这时候不能执着于求 $f$，而应该马上想到：

$${\int }_a^{b}x{f}^{\prime }(x)dx={\left[xf(x)\right]}_a^b-{\int }_a^{b}f(x)dx$$

再利用

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$

站内的 1999-3-3 分真题就是这种典型：已知 $f(x)$ 的一个原函数，再求含 $f^{\prime }(x)$ 的积分。

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2. 保序性

若在整个积分区间上

$$f(x)\le g(x),$$

则

$${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx,a<b.$$

注意最后的条件：

$$a<b.$$

因为上下限反过来时符号也会反转。

站内 2006-4-4 分的选择题，实际上就在专门考这个陷阱：即使已知 $f\le g$，也必须先确认积分上下限的方向。

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3. 对称区间公式

这是模块 6 必须形成条件反射的东西。

若 $f$ 为奇函数：

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0.$$

若 $f$ 为偶函数：

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx.$$

更重要的是一般配对公式：

$$\boxed{{\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_0^a[f(x)+f(-x)]dx}$$

它比单纯判断奇偶函数更强。

比如一个函数根本不是奇函数也不是偶函数，但如果

$$f(x)+f(-x)$$

极其简单，就能直接算。

这一思路在网站 1995-45-6 分大题里被系统地考过：若

$$f(x)+f(-x)=A$$

且 $g(x)$ 为偶函数，就可以把

$${\int }_{-a}^{a}f(x)g(x)dx$$

化成只含 $g$ 的积分。

所以以后看到

$$[-a,a]$$

第一反应绝对不应该是“求原函数”，而应该是：

先算 $f(-x)$。

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三、题型一：定积分大小比较

这类题真题数量不算最多，但近年来依然会考，而且很容易成为选择题区分题。网站这一类从 1990、1994、1997，一直收录到 2022、2024。

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方法 1：直接比较被积函数

最简单，也是最稳的方法。

网站 1990-3-3 分：

比较

$${\int }_{-2}^{-1}{e}^{-x^3}dx$$

和

$${\int }_{-2}^{-1}{e}^{x^3}dx.$$

因为

$$x\in [-2,-1]\Rightarrow x^3<0,$$

于是

$$-x^3>x^3,$$

所以逐点有

$$e^{-x^3}>e^{x^3},$$

直接得到积分大小。

通法

比较

$$I={\int }_a^{b}f(x)dx,J={\int }_a^{b}g(x)dx$$

时优先研究

$$f(x)-g(x).$$

只要能证明

$$f(x)-g(x)>0$$

就在整个区间成立，就结束了。

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四、题型二：积分比较题中的“标准不等式”

这是近年越来越重要的方向。

网站 2022-123-5 分就要求比较三个积分，本质上不是算积分，而是利用

$$\ln (1+x)<x$$

以及若干三角函数不等式逐点排序。

因此以下不等式要非常熟：

当 $x>0$ 时，

$$\ln (1+x)<x.$$

同时有经典下界

$$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x).$$

因此

$$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x.$$

另外：

$$\sin x<x<\tan x,0<x<\frac{\pi }{2}.$$

以及

$$\frac{\sin x}{x}<1<\frac{\tan x}{x}.$$

很多所谓“积分比较题”，根本不需要真正积分。

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五、题型三：周期函数的定积分

这是非常值得单独记住的一套公式。

若 $f(x)$ 周期为 $T$，则

$$\boxed{{\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx}$$

与起点 $a$ 无关。

证明很简单。设

$$F(a)={\int }_a^{a+T}f(x)dx.$$

则

$$F^{\prime }(a)=f(a+T)-f(a)=0.$$

所以 $F(a)$ 是常数。

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真题 1：1997-12-3 分

网站给出

$$F(x)={\int }_x^{x+2\pi }{e}^{\sin t}\sin tdt.$$

因为被积函数是 $2\pi$ 周期函数，积分区间长度恰好也是一个周期，所以

$$F(x)$$

一定是常数。再通过半周期配对判断它大于零。

这道题非常有代表性：

积分上下限都含 $x$，不代表积分一定随 $x$ 变。

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真题 2：2024-3-5 分

网站考了

$$I={\int }_a^{a+k\pi }|\sin x|dx,$$

其中 $k$ 为整数。

因为

$$|\sin x|$$

周期为

$$\pi ,$$

所以每一个周期积分都是

$${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2.$$

因此

$$I=2k.$$

所以只与 $k$ 有关，与 $a$ 无关。

以后看到

$${\int }_a^{a+nT}f(x)dx$$

立刻想到

$$n{\int }_0^{T}f(x)dx.$$

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六、题型四：周期正负交替 + 平移比较

这一类比普通周期题更难。

网站 2012-12-4 分：

$$I_k={\int }_0^{k\pi }{e}^{x^2}\sin xdx.$$

这题没法直接求原函数。

正确思路是把每一个长度为 $\pi$ 的区间平移到

$$[0,\pi ].$$

因为

$$\sin (x+\pi )=-\sin x,$$

而

$$e^{(x+\pi {)}^2}>e^{x^2},$$

所以后一个负面积的绝对值会更大。

这种题的底层套路是：

$${\int }_{\pi }^{2\pi }f(x)\sin xdx$$

令

$$x=t+\pi ,$$

得到

$$-{\int }_0^{\pi }f(t+\pi )\sin tdt.$$

于是问题变成比较

$$f(t+\pi )$$

与

$$f(t).$$

网站最终得到

$$I_2<I_1<I_3.$$

这是非常值得掌握的“平移配对”方法。

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七、题型五：变限积分——模块 6 第一核心题型

这是这一模块真正的大重点。

定义

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt.$$

若 $f$ 在 $x$ 处连续，则

$$\boxed{F^{\prime }(x)=f(x)}$$

这就是微积分基本定理。

但考研真正考的绝不是只要求求一次导。

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八、变限积分通用求导公式

若

$$F(x)={\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(t)dt,$$

则

$$\boxed{F^{\prime }(x)=f(\beta (x)){\beta }^{\prime }(x)-f(\alpha (x)){\alpha }^{\prime }(x)}$$

如果被积函数中也含 $x$：

$$F(x)={\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,t)dt,$$

则是莱布尼茨公式：

$$\boxed{F^{\prime }(x)=f(x,\beta (x)){\beta }^{\prime }(x)-f(x,\alpha (x)){\alpha }^{\prime }(x)+{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt}$$

这一公式就是抽象积分函数大题的核心。

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九、题型六：判断变限积分的奇偶性

这个真题极高频。

最重要的规律：

若

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt,$$

那么：

如果 $f(t)$ 为偶函数，则

$$F(x)$$

是奇函数。

如果 $f(t)$ 为奇函数，则

$$F(x)$$

是偶函数。

注意：

奇偶性会“翻转”。

因为

$$F(-x)={\int }_0^{-x}f(t)dt.$$

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真题：2002-24-3 分

题目给出多个

$${\int }_0^x(\cdots )dt$$

让判断哪个必是偶函数。

解题关键就是先判断括号中的被积函数奇偶性，再使用上面的翻转规律。

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真题：2020-3-4 分

已知 $f$ 是奇函数。

则

$$f^{\prime }(x)$$

是偶函数。

同时

$$\cos f(x)$$

也是偶函数，因此

$$\cos f(t)+f^{\prime }(t)$$

是偶函数。

所以

$${\int }_0^x[\cos f(t)+f^{\prime }(t)]dt$$

是奇函数。

这类题建议形成固定流程

先做：

$$f(-x)?$$

然后：

$$f^{\prime }(-x)?$$

再做：

$$\sin f(x),\cos f(x),e^{f(x)}$$

的奇偶判断。

最后才判断积分函数。

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十、题型七：复合变限积分

2024 真题已经明确表明这个方向非常值得重视。

网站 2024-12-5 分中有

$$g(x)={\int }_0^{\sin x}{e}^{t^2}dt.$$

先定义

$$H(u)={\int }_0^u{e}^{t^2}dt.$$

因为

$$e^{t^2}$$

是偶函数，所以

$$H(u)$$

为奇函数。

而

$$\sin x$$

也是奇函数，因此

$$g(x)=H(\sin x)$$

仍为奇函数。

这代表一种非常重要的新型思维：

不一定直接操作积分，而是先把它看成复合函数。

即

$$g(x)=H(\phi (x)).$$

然后研究 $H$ 和 $\phi$ 的性质。

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十一、题型八：变限积分的连续性与可导性

这是极其容易混淆的一块。

结论 1

如果 $f$ 在有限区间上有界且可积，那么

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

通常仍然是连续函数。

所以：

被积函数有跳跃，不代表积分函数也跳跃。

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真题：2004-4-4 分

网站中

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -1,& x<0,\end{array}$$

定义

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt.$$

直接计算得到

$$F(x)=|x|.$$

于是 $F$ 连续，但在

$$x=0$$

不可导。

这道题揭示一个非常重要的层次：

$$f\text{ 跳跃}$$

可能变成

$$F\text{ 连续但出现折点}.$$

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真题：2013-2-4 分

网站里给的是分段 $f(x)$，在

$$x=\pi$$

发生跳跃。

但

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$

仍然连续。

左右导数分别等于 $f$ 的左右极限，因此左右导数不同，所以

$$F^{\prime }(\pi )$$

不存在。

总结

若 $f$ 在 $x_0$ 处：

连续：

$$F^{\prime }(x_0)=f(x_0).$$

第一类跳跃：

$$F(x)$$

通常连续，但

$$F_{-}^{\prime }(x_0)\ne F_{+}^{\prime }(x_0).$$

这个结论非常容易命选择题。

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十二、题型九：通过 $f$ 的图像判断积分函数图像

网站 2009-123-4 分就是经典题。

定义

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt.$$

关键不是积分，而是

$$F^{\prime }(x)=f(x).$$

所以：

当

$$f(x)>0$$

时：

$$F(x)\text{ 单调增加}.$$

当

$$f(x)<0$$

时：

$$F(x)\text{ 单调减少}.$$

当

$$f(x)=0$$

且符号发生

$$-\to +$$

变化时，$F$ 取得极小值。

发生

$$+\to -$$

变化时，取得极大值。

此外

$$F(0)=0.$$

网站真题正是用这些条件排除图像选项。

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十三、题型十：复杂积分核——先求导再比较

这是变限积分大题里最值得掌握的套路之一。

网站 1997-4-7 分：

$$F(x)={\int }_0^x(x-2t)f(t)dt.$$

题目要求讨论奇偶性和单调性。

关键操作不是把它算出来，而是求导：

$$F^{\prime }(x)=(x-2x)f(x)+{\int }_0^{x}f(t)dt.$$

即

$$F^{\prime }(x)={\int }_0^x[f(t)-f(x)]dt.$$

若 $f$ 单调不增，则对于

$$0<t<x$$

有

$$f(t)\ge f(x),$$

因此

$$F^{\prime }(x)\ge 0.$$

最终得到 $F$ 单调不减。

这是典型的：

抽象函数 + 积分核 + 单调性 → 把导数整理成“差值积分”。

以后遇到

$${\int }_0^x(Ax+Bt)f(t)dt$$

一定尝试求导。

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十四、题型十一：定积分直接计算——最核心不是公式，而是“识别结构”

网站定积分计算真题数量非常大，从早年换元、分部，一直到 2022、2023、2025 仍持续出现。

建议把计算题识别成下面几种结构。

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十五、计算型 A：看到复合结构，优先换元

比如出现

$$x^{m}f(x^{m+1})$$

就考虑

$$u=x^{m+1}.$$

出现

$$\frac{f(\ln x)}{x}$$

就考虑

$$u=\ln x.$$

出现

$$f(e^x)e^x$$

就考虑

$$u=e^x.$$

出现

$$f(\sqrt{x})\frac{1}{\sqrt{x}}$$

就考虑

$$u=\sqrt{x}.$$

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真题：2022-2-5 分

网站有

$${\int }_0^1\frac{2x+3}{x^2-x+1}dx.$$

这种题第一步不是部分分式。

先看分母：

$$q(x)=x^2-x+1,$$

则

$$q^{\prime }(x)=2x-1.$$

拆分分子：

$$2x+3=(2x-1)+4.$$

于是

$$\frac{2x+3}{q(x)}=\frac{q^{\prime }(x)}{q(x)}+\frac{4}{q(x)}.$$

第一部分出

$$\ln q(x),$$

第二部分配平方出

$$\arctan .$$

这是标准的“分子凑分母导数”模型。

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十六、计算型 B：有反三角函数、对数、幂函数乘积 → 分部积分

优先级经验：

如果出现

$$x^m\arctan x,x^m\arcsin x,x^m\ln x,$$

通常把

$$\arctan x,\arcsin x,\ln x$$

放到 $u$。

例如网站 1987-3-8 分大题

$${\int }_0^{1}x\arcsin xdx.$$

令

$$u=\arcsin x,dv=xdx.$$

就能把问题化成三角代换可以处理的积分。

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十七、计算型 C：含绝对值、平方根——先找变号点

这一条必须形成条件反射。

网站 2021-3-5 分

$${\int }_{\sqrt{5}}^5\frac{x}{\sqrt{|x^2-9|}}dx.$$

关键点是

$$x^2-9=0$$

在

$$x=3$$

变号。

因此必须拆：

$${\int }_{\sqrt{5}}^3\cdots dx+{\int }_3^5\cdots dx.$$

网站最终得到结果 $6$。

所以绝对值题统一流程：

先解

$$g(x)=0.$$

找出所有落在积分区间内的根。

再根据符号分区间。

绝对不能直接“去绝对值”。

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十八、计算型 D：根式实际上隐藏绝对值

例如

$$\sqrt{1-\sin x}.$$

不能随便写成某个三角表达式，因为本质上常会出现

$$|A(x)|.$$

站内 1992-3-5 分的

$${\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\sin x}dx$$

就是如此。

利用半角公式后会出现

$$\left|\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right|,$$

所以必须在

$$x=\frac{\pi }{2}$$

处分段。网站也特别提示了这一易错点。

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十九、计算型 E：对称区间——先奇偶，最后才积分

网站里这一类真题非常多，包括 1987、1991、1994、1996、2001、2003、2014、2015、2017 等。

例如

$${\int }_{-1}^1\left(x{e}^{x^2}+e^{-x}\right)dx.$$

其中

$$x{e}^{x^2}$$

为奇函数，所以这一部分直接消失：

$${\int }_{-1}^{1}x{e}^{x^2}dx=0.$$

只剩

$${\int }_{-1}^1{e}^{-x}dx.$$

所以考试中看到对称区间：

$$[-a,a]$$

必须在任何代换、分部积分之前先检查奇偶性。

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二十、更高级的对称：不是奇偶函数也能配对

这是非常重要的强化技巧。

对

$$I={\int }_{-a}^{a}f(x)dx,$$

有

$$I={\int }_0^a[f(x)+f(-x)]dx.$$

张宇 1000 题有一道很好的强化题：

$${\int }_{-1}^{1}x\ln (1+e^x)dx.$$

设

$$f(x)=x\ln (1+e^x).$$

那么

$$f(x)+f(-x)=x[\ln (1+e^x)-\ln (1+e^{-x})].$$

而

$$\ln (1+e^x)-\ln (1+e^{-x})=x.$$

所以

$$I={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}.$$

这道练习题特别有价值，因为它展示了：

“不是奇偶函数”不等于“对称区间没用”。

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二十一、计算型 F：区间 $[0,a]$ 的对称换元

另一个超级重要公式：

$$I={\int }_0^{a}f(x)dx.$$

令

$$x=a-t,$$

则

$$I={\int }_0^{a}f(a-x)dx.$$

两式相加：

$$\boxed{I=\frac{1}{2}{\int }_0^a[f(x)+f(a-x)]dx}$$

如果 $f(x)+f(a-x)$ 很简单，直接结束。

所以遇到

$$\sin x+\cos x,$$ $$e^x+e^{a-x},$$ $$\frac{1}{1+e^x},$$

这类结构时，一定考虑区间对称代换。

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二十二、计算型 G：函数方程 + 定积分

这是近年的高价值方向。

网站 2023-12-5 分：

已知连续函数满足

$$f(x+2)-f(x)=x$$

且

$${\int }_0^{2}f(x)dx=0,$$

求

$${\int }_1^{3}f(x)dx.$$

把积分拆成

$${\int }_1^{2}f(x)dx+{\int }_2^{3}f(x)dx.$$

第二部分令

$$x=t+2.$$

利用

$$f(t+2)=f(t)+t.$$

就得到

$${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_0^{1}xdx.$$

所以结果为

$$\frac{1}{2}.$$

这类题一定要记：

出现 $f(x+T)$ 与 $f(x)$ 的关系，就要尝试把积分区间平移 $T$。

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二十三、计算型 H：抽象函数导数的积分

这类题的本质是：

连续分部积分，把高阶导数降阶，直到题目给出的端点数据都能用。

例如网站 2018-1-4 分：

要求

$${\int }_0^{1}x{f}^{\prime \prime }(x)dx.$$

直接分部：

$${\int }_0^{1}x{f}^{\prime \prime }(x)dx=[x{f}^{\prime }(x){]}_0^1-{\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx.$$

所以

$$=f^{\prime }(1)-f(1)+f(0).$$

题目给曲线过点和相切条件，就能得到这些端点值。网站最终结果为

$$2\ln 2-2.$$

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更高阶版本

网站 2005-12-11 分大题甚至给出

$${\int }_0^3(x^2+x)f^{\prime \prime \prime }(x)dx.$$

连续分部积分以后依次降成

$$f^{\prime \prime },f^{\prime },f.$$

再利用拐点、切线、端点值。

这是非常典型的大题思想。

通法

若

$$I={\int }_a^b{P}_n(x)f^{(m)}(x)dx,$$

其中 $P_n(x)$ 是多项式，那么反复分部积分。

每做一次：

$$f^{(m)}⟶f^{(m-1)}$$

而

$$P_n⟶P_n^{\prime }.$$

多项式最终会消失。

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二十四、计算型 I：积分里面还有变限积分

近年非常值得注意。

网站 2019-2-4 分：

$$f(x)={\int }_1^x\frac{1}{\sqrt{1+t^4}}dt$$

要求某个

$${\int }_0^1{x}^{2}f(x)dx.$$

网站用了交换积分次序。

实际上还有一个更一元化、更适合考场的方法：

直接分部积分。

令

$$u=f(x),dv=x^{2}dx.$$

因为

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^4}},$$

于是

$$\int x^{2}f(x)dx$$

就会变成普通定积分。

所以看到：

$${\int }_a^{b}P(x)\left[{\int }_c^{x}f(t)dt\right]dx$$

优先考虑两个方向：

方法 A：分部积分

让

$$u={\int }_c^{x}f(t)dt.$$

则

$$du=f(x)dx.$$

方法 B：交换积分顺序

把它写成二重积分区域。

如果内层区间长度能和被积函数约掉，方法 B 往往极快。

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二十五、经典真题：1995-3-8 分

网站给出

$$f(x)={\int }_0^x\frac{\sin t}{\pi -t}dt$$

要求

$${\int }_0^{\pi }f(x)dx.$$

换成累次积分：

$${\int }_0^{\pi }{\int }_0^x\frac{\sin t}{\pi -t}dtdx.$$

积分区域：

$$0\le t\le x\le \pi .$$

交换次序：

$${\int }_0^{\pi }{\int }_t^{\pi }\frac{\sin t}{\pi -t}dxdt.$$

内层积分长度恰好为

$$\pi -t.$$

于是约掉：

$${\int }_0^{\pi }\sin tdt=2.$$

非常漂亮。

所以以后看到嵌套积分，一定问自己：

换序以后，内层区间长度是不是正好可以消掉某个因子？

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二十六、题型十二：积分数列与递推关系

这一类不是每年考，但一旦出现通常是大题。

网站 2019-13-10 分定义

$$a_n={\int }_0^1{x}^n\sqrt{1-x^2}dx.$$

第一问证明单调性：

因为

$$0<x<1$$

时

$$x^{n+1}<x^n,$$

所以

$$a_{n+1}<a_n.$$

第二步通过分部积分得到递推：

$$\boxed{a_n=\frac{n-1}{n+2}{a}_{n-2}}$$

然后利用递推式和单调性夹逼比值极限。

积分数列标准三件套

遇到

$$a_n={\int }_a^b{\phi }_n(x)dx$$

时按顺序考虑：

1. 直接比较 ${\phi }_{n+1}$ 和 ${\phi }_n$；
2. 分部积分求递推；
3. 利用递推 + 单调/有界 + 夹逼求极限。

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二十七、题型十三：黎曼和转定积分

真题近年来不是模块最高频，但强化题中非常有价值。

张宇 1000 题第 8 章开头就重点练了这一类。

标准定义：

若

$$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$

且

$${\xi }_k\in [x_{k-1},x_k],$$

那么

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\Delta x={\int }_a^{b}f(x)dx.$$

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典型形式

比如

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$$

直接对应

$${\int }_0^{1}f(x)dx.$$

再如

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^2\ln \frac{k}{n}$$

就是

$${\int }_0^1{x}^2\ln xdx.$$

张宇练习中正好有类似题，结果为

$$-\frac{1}{9}.$$

最重要的检查

不要只看

$$\frac{k}{n}.$$

一定检查三件东西：

$$\boxed{\text{积分区间、步长、采样点}}$$

尤其是前面的系数究竟是

$$\frac{1}{n}$$

还是

$$\frac{1}{3n}.$$

这是选择题最喜欢挖坑的位置。

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二十八、题型十四：广义积分——模块 6 第二大核心

站内广义积分真题数量非常多，而且一直考到 2025；题型既有直接计算，也有敛散性判断和参数题。

广义积分首先分两种。

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1. 无穷区间

例如

$${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$$

定义为

$$\underset{R\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{R}f(x)dx.$$

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2. 瑕积分

例如

$${\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx.$$

问题不是区间无限，而是

$$x=0$$

处函数无界。

定义：

$${\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{\epsilon }^1\frac{1}{x^p}dx.$$

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二十九、广义积分必须背熟的两个 $p$ 判别

无穷远

$${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$$

收敛当且仅当

$$\boxed{p>1}.$$

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有限瑕点

$${\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx$$

收敛当且仅当

$$\boxed{p<1}.$$

注意两个结论方向完全相反。

这是所有参数广义积分的基础。

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三十、参数型广义积分：一定“每个危险点分别讨论”

网站 2016-1-4 分：

$${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{x^a(1+x{)}^b}.$$

危险点有两个：

$$x=0$$

和

$$x=+\infty .$$

在 $x\to 0^{+}$：

$$(1+x{)}^b\sim 1,$$

所以

$$f(x)\sim \frac{1}{x^a}.$$

因此要求

$$a<1.$$

在 $x\to +\infty$：

$$1+x\sim x,$$

所以

$$f(x)\sim \frac{1}{x^{a+b}}.$$

因此要求

$$a+b>1.$$

最终：

$$\boxed{a<1,a+b>1}$$

网站答案也是如此。

这就是参数反常积分最标准的模板。

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三十一、2022 真题：两个端点给出两个不同参数条件

网站 2022-2-5 分：

$${\int }_0^1\frac{\ln x}{x^p(1-x{)}^{1-p}}dx$$

是否收敛。

必须分别分析：

当 $x\to 0^{+}$

$$(1-x{)}^{1-p}\to 1.$$

主要考察

$$x^{-p}\ln x.$$

得到

$$p<1.$$

当 $x\to 1^{-}$

利用

$$\ln x\sim -(1-x),$$

被积函数化成某个

$$(1-x{)}^p$$

型。

得到

$$p>-1.$$

所以

$$\boxed{-1<p<1}$$

这一题非常值得代表近年的命题方式：

不要求真正计算反常积分，而是考局部等价。

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三十二、广义积分的核心不是“积分”，而是“局部行为”

这是反常积分最重要的理解。

敛散性只取决于危险点附近。

例如

$$f(x)=\frac{\sin x}{x^p(1+x{)}^q}.$$

如果研究

$$x\to 0,$$

就用

$$\sin x\sim x.$$

因此

$$f(x)\sim x^{1-p}.$$

其它在该点趋于非零常数的因子，都可以忽略。

同理：

$$\ln (1+x)\sim x,$$ $$e^x-1\sim x,$$ $$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2},$$ $$\tan x\sim x.$$

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三十三、强化题：两个端点同时出现复杂结构

张宇 1000 题有一道很有价值的题：

$${\int }_0^1\frac{\ln x}{x^a{\left(\tan \frac{\pi x}{2}\right)}^b}dx.$$

要分别看：

$$x\to 0^{+}$$

和

$$x\to 1^{-}.$$

在零点：

$$\tan \frac{\pi x}{2}\sim \frac{\pi x}{2}.$$

在 $x\to 1^{-}$，令

$$u=1-x,$$

则正切会变成余切型，主要行为为

$$\frac{C}{1-x}.$$

最后会得到两个参数不等式。

这类题非常适合考研预测，因为它比单纯的

$$x^{-p}(1-x{)}^{-q}$$

多包装一层，但原理完全一样。

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三十四、广义积分最容易错的陷阱：柯西主值不等于反常积分

网站 1995-45-3 分特别典型。

例如

$${\int }_{-1}^1\frac{dx}{\sin x}.$$

有人会说：

因为

$$\frac{1}{\sin x}$$

是奇函数，

所以

$${\int }_{-1}^1\frac{dx}{\sin x}=0.$$

错。

因为 $x=0$ 是瑕点。

真正的反常积分要求

$${\int }_{-1}^0\frac{dx}{\sin x}$$

和

$${\int }_0^1\frac{dx}{\sin x}$$

分别收敛。

而

$$\frac{1}{\sin x}\sim \frac{1}{x},$$

两边都发散。

所以原广义积分发散。

它的“对称主值”可能为零，但反常积分不存在。

这条一定记：

$$\boxed{\text{遇到奇点时，禁止直接使用奇函数对称积分为零。}}$$

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三十五、广义积分计算型：先判断是否收敛，再计算

比如

$${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln x}{x^2}dx.$$

先看：

$$\frac{\ln x}{x^2}$$

衰减足够快，所以收敛。

再分部积分：

$$u=\ln x,dv=x^{-2}dx.$$

即可得到结果。

网站从 1991 开始就反复出现这种直接计算题，近年 2021、2024、2025 仍有类似形式。

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三十六、2025 真题：计算前必须检查区间内部有没有奇点

网站 2025-23-5 分给出含参数的反常积分，并要求根据积分值求参数。

形式上代数计算会得到两个候选参数，但其中一个会使分母

$$2x+a$$

在积分区间

$$[1,+\infty )$$

内部为零，于是原积分实际上发散，所以必须舍掉。

这说明近年参数积分有一个重要趋势：

不只是解方程，还要回头检查“原题是否有意义”。

以后求参数一定做最后一步：

$$\boxed{\text{检查定义域 + 瑕点 + 收敛性}}$$

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三十七、2024 真题：反常积分开始考抽象逻辑命题

网站 2024-2-5 分不再只是给一个具体函数，而是给非负连续函数 $f$，讨论：

$${\int }_0^{\infty }{f}^2(x)dx$$

与

$${\int }_0^{\infty }f(x)dx$$

之间能否相互推出，以及

$$x^{p}f(x)$$

的极限条件是否能推出积分收敛。

这里尤其要掌握一个重要结论：

若存在

$$p>1$$

使得

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{p}f(x)$$

为有限值，那么充分大时

$$f(x)\le \frac{M}{x^p},$$

而

$${\int }_A^{\infty }\frac{dx}{x^p}$$

收敛，因此通过比较判别得到

$${\int }_A^{\infty }f(x)dx$$

收敛。

这是“极限 → 有界 → 比较判别”链条。

可以认为这是未来继续命题的重要方向。

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三十八、练习题里最值得加入考研体系的几个拓展

李正元第三章和张宇积分章节题量很大，但不是所有练习题价值一样。可以认为下面几种特别值得留下。

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拓展 1：取整函数 + 变限积分

张宇题：

$$F(x)={\int }_0^x(t-[t])dt.$$

求

$$F_{-}^{\prime }(1)-F_{+}^{\prime }(1).$$

因为

$$t-[t]$$

在整数点发生跳跃。

于是

$$F_{-}^{\prime }(1)=\underset{t\to 1^{-}}{\lim }(t-[t])=1,$$ $$F_{+}^{\prime }(1)=\underset{t\to 1^{+}}{\lim }(t-[t])=0.$$

所以差为

$$1.$$

这题非常好，因为把：

$$\text{取整函数}+\text{间断点}+\text{变限积分左右导数}$$

合在一起了。

这很适合作为未来选择题变式。

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三十九、拓展 2：含 $|x-t|$ 的积分函数

张宇题中还有

$$F(x)={\int }_{-\pi }^{\pi }|x-t|\sin tdt.$$

要求 $F^{\prime }(0)$。

遇到

$$|x-t|$$

一定按

$$t=x$$

分段：

$$|x-t|=\{\begin{array}{ll}x-t,& t<x,\\ t-x,& t>x.\end{array}$$

所以

$$F(x)={\int }_a^x(x-t)f(t)dt+{\int }_x^b(t-x)f(t)dt.$$

再求导。

这是非常重要的统一公式：

$$\boxed{F^{\prime }(x)={\int }_a^{x}f(t)dt-{\int }_x^{b}f(t)dt}$$

继续求导：

$$\boxed{F^{\prime \prime }(x)=2f(x)}$$

只要 $f$ 连续。

这一结论非常适合出未来的大题或选择题。

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四十、拓展 3：积分方程

积分题中看到未知函数满足

$$f(x)=g(x)+\lambda {\int }_a^{b}f(t)dt$$

时，不需要微分方程。

设

$$A={\int }_a^{b}f(t)dt.$$

那么

$$f(x)=g(x)+\lambda A.$$

两边积分就可以解出 $A$。

网站早年真题和李正元练习中都有这种模型。

这是非常高效的一类：

积分是一个常数，就把它整体设成常数。

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四十一、可以认为最值得预测的未来组合题

综合站内真题近年的变化和练习题中的高价值变式，可以认为模块 6 后续最值得防的不是“再考一道普通换元积分”，而是以下组合。

预测 1：复合变限积分 + 奇偶/周期

例如定义

$$F(x)={\int }_0^{\sin x}f(t)dt$$

已知 $f$ 奇偶性或周期性，判断：

$$F(x)$$

的奇偶性、周期性或单调区间。

2024 真题已经出现了这个趋势。

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预测 2：间断函数 + 变限积分高阶光滑性

例如

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$

其中 $f$ 在 $x=1$ 跳跃。

问：

$$F,F^{\prime },F^{\prime \prime }$$

分别在 $x=1$ 是否存在。

核心关系：

$$f\text{ 的间断}$$

经过一次积分后会被“平滑一阶”。

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预测 3：参数反常积分 + 最值

网站 2023-2-5 分已经把反常积分和参数函数最值结合：

先求

$$f(\alpha )={\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x(\ln x{)}^{\alpha +1}},$$

确定它在哪些 $\alpha$ 下存在，再把积分算成参数函数，最后求最小值。

这种题非常重要：

$$\boxed{\text{先求参数定义域}\to \text{再计算积分}\to \text{最后求极值}}$$

不能顺序颠倒。

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预测 4：抽象函数 + $|x-t|$ 积分核

例如

$$F(x)={\int }_{-1}^1|x-t|f(t)dt.$$

考：

$$F^{\prime }(x),F^{\prime \prime }(x),F\text{ 的凸性}.$$

因为

$$F^{\prime \prime }(x)=2f(x).$$

所以若

$$f(x)>0,$$

则

$$F^{\prime \prime }(x)>0,$$

于是 $F$ 是凸函数。

这类题可以一题同时考：

$$\text{分段积分}+\text{变限积分}+\text{导数}+\text{凹凸性}.$$

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预测 5：积分递推 + 数列极限

2019 真题已经考过。

以后可能进一步变成：

$$a_n={\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx$$

要求证明单调、求

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}$$

或

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n.$$

这会把：

$$\text{积分}+\text{数列}+\text{夹逼}$$

放在一道题里。

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四十二、整个模块最重要的“看到题以后第一反应”

真正需要记住的不是几十个解法，而是这一套判断顺序。

出现对称区间

先看

$$f(-x).$$

不要急着求原函数。

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出现 $[0,a]$

尝试

$$x\mapsto a-x.$$

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出现周期

先看区间长度是不是

$$T,2T,nT.$$

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出现绝对值

先解

$$g(x)=0$$

找分段点。

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出现变限积分

先求

$$F^{\prime }(x).$$

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出现积分函数性质

转换成：

$$F^{\prime }(x)=f(x),F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x).$$

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出现抽象高阶导数积分

连续分部积分。

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出现

$$\int P(x)\left[\int f\right]dx$$

先试分部积分，再试交换积分次序。

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出现反常积分

第一步永远不是计算，而是找：

$$\boxed{\text{所有危险点}}$$

包括：

$$\pm \infty ,$$

端点零分母，

区间内部零分母，

对数定义域边界，

根式边界。

然后分别讨论。

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出现参数反常积分

先求：

$$\boxed{\text{收敛参数范围}}$$

再算积分。

绝不能反过来。

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四十三、模块 6 最容易丢分的 10 个坑

1. 把

$$\sqrt{u^2}$$

写成 $u$，而不是

$$|u|.$$

2. 看到 $[-a,a]$ 就直接积分，没有先看奇偶性。

3. 认为被积函数跳跃，所以变限积分也跳跃。

4. 忘记

$$f\text{ 偶}\Rightarrow {\int }_0^{x}f(t)dt\text{ 奇}.$$

5. 认为周期函数的原函数一定也是周期函数。

实际上还必须满足

$${\int }_0^{T}f(x)dx=0.$$

6. 广义积分遇到奇函数就直接判积分为零。

7. 参数反常积分只检查

$$+\infty$$

不检查有限端点。

8. 解出参数后不检查分母是否在积分区间中变成零。

9. 嵌套积分死磕内层原函数，不考虑分部积分或换序。

10. 复杂定积分一上来就做万能代换，而忽略题目真正给出的区间结构。

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四十四、最后压缩成一张“模块 6 方法树”

如果当前做一道模块 6 题，建议脑中按以下顺序扫描：

$$\boxed{\text{先看区间}}$$

是否对称、是否整周期、是否跨分段点。

然后：

$$\boxed{\text{再看函数结构}}$$

奇偶、周期、绝对值、复合、参数、抽象函数。

然后：

$$\boxed{\text{判断是性质题还是计算题}}$$

性质题优先：

$$\text{求导、比较、对称、周期}.$$

计算题优先：

$$\text{对称}\to \text{换元}\to \text{分部}\to \text{分段}.$$

若含变限积分：

$$\boxed{F^{\prime }(x)=f(x)}$$

往往是第一钥匙。

若含反常积分：

$$\boxed{\text{找危险点}\to \text{局部等价}\to p\text{-判别}}$$

而不是盲目算原函数。

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五、模块 6 真正需要达到什么水平

把站内的真题、李正元和张宇题目综合起来，可以认为模块 6 学透的标准不是“积分都会算”，而是看到题目以后能立刻识别下面这些信号：

$$[-a,a]\Rightarrow \text{奇偶/配对};$$ $$[0,a]\Rightarrow x\leftrightarrow a-x;$$ $${\int }_0^x\Rightarrow \text{微积分基本定理};$$ $$f(x+T)\Rightarrow \text{平移/周期};$$ $$|g(x)|\Rightarrow g(x)=0\text{ 分段};$$ $$f^{(n)}(x)\Rightarrow \text{分部积分降阶};$$ $$\int P(x)\int f(t)dtdx\Rightarrow \text{分部或换序};$$ $${\int }^{\infty }\Rightarrow \text{先敛散后计算};$$ $$\text{参数反常积分}\Rightarrow \text{每个危险点分别给参数条件}.$$

真正把这些条件反射建立起来以后，模块 6 会从“积分技巧特别杂”变成只有几个统一思想：

$$\boxed{\text{对称、求导、换元、分部、分段、局部等价}}$$

其中尤其值得重点二刷的真题，可优先选择：1997-4-7（抽象变限积分单调性）、2004-4-4（间断函数与积分函数）、2012-12-4（周期平移比较）、2019-13-10（积分递推数列）、2022-123-5（积分比较）、2022-2-5（参数反常积分）、2023-12-5（函数方程与积分）、2023-2-5（参数反常积分最值）、2024-12-5（复合变限积分奇偶性）、2024-2-5（抽象反常积分敛散性）、2025-23-5（参数值与内部奇点检查）。这些题基本覆盖了模块 6 从传统计算到近年综合化的主要发展方向。