高等数学模块 2：极限的应用

本章围绕极限的应用展开，以考研数学真题为主线，并参考高质量练习题进行补充，按照“题型识别 → 核心方法 → 代表题 → 易错点 → 变式拓展”的方式组织。

一、整个模块到底在学什么？

站内把模块2划为五部分：

1. 连续与间断点
2. 渐近线
3. 导数与微分
4. 多元函数的极限、连续、偏导与微分
5. 方向导数与梯度（数一）

表面上看是五个知识点，实际上底层只有一句话：

已知函数在某点附近或无穷远处的局部行为，通过极限判断函数的结构性质。

整个模块可以压缩成下面这张思维图：

$$\boxed{\text{极限}}$$

向五个方向延伸：

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)& ⟶\text{连续、间断点},\\ \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}& ⟶\text{导数、可导性},\\ \underset{x\to \infty }{\lim }f(x)& ⟶\text{水平渐近线},\\ \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x},\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-ax]& ⟶\text{斜渐近线},\\ \underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{\Delta f-A\Delta x-B\Delta y}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}& ⟶\text{多元可微}.\end{array}$$

所以模块1解决的是：

极限怎么算？

模块2解决的是：

这个极限算出来以后说明什么？

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二、考频与复习优先级

根据站内收录的历年真题跨度以及近年真题，建议按下面优先级复习：

例如站内连续/间断点部分一直收录到 2024 年，多元可微也有 2024 真题；渐近线部分出现了 2023、2025 真题，方向导数则出现了 2022、2025 真题，因此这些绝不是“老考点”。

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第一大类：连续性

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1. 连续的核心定义

函数在点 $x_0$ 连续，当且仅当：

$$\boxed{\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)}$$

但做题时一定拆成三个量：

$$\boxed{\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)}$$

这是所有连续题的总公式。

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题型1：分段函数求参数

这是连续性里最标准的题型。

识别信号

看到：

“若函数在 $x=x_0$ 处连续，求 $a,b$……”

直接启动：

$$\boxed{\text{左极限}=\text{右极限}=\text{函数值}}$$

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真题：1988 年

网站题目大意：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+a,& x\le 0,\\ e^x(\sin x+\cos x),& x>0\end{array}$$

要求函数在整个实轴连续，求 $a$。

只需要检查 $x=0$。

左边：

$$f(0)=a.$$

右边：

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^x(\sin x+\cos x)=1.$$

于是：

$$a=1.$$

方法总结

分段函数内部通常由初等函数组成，所以内部天然连续。

真正需要检查的只有：

$$\boxed{\text{分段点}}$$

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题型2：连续条件里藏着极限计算

这是比上一类更常见的升级。

例如站内 2017 真题：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{ax},& x>0,\\ b,& x\le 0\end{array}$$

在 $x=0$ 连续，求 $ab$。

先算右极限。

由于

$$1-\cos u\sim \frac{u^2}{2},$$

令

$$u=\sqrt{x},$$

得到

$$1-\cos \sqrt{x}\sim \frac{x}{2}.$$

于是

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\cos \sqrt{x}}{ax}=\frac{1}{2a}.$$

连续要求：

$$b=\frac{1}{2a},$$

因此

$$\boxed{ab=\frac{1}{2}}.$$

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这一类的通法

看到

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\phi (x,a,b),& x>x_0,\\ \psi (x,a,b),& x\le x_0\end{array}$$

不要急着求参数。

固定流程：

第一步：函数值

$$f(x_0)$$

第二步：左极限

$$L_{-}=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$$

第三步：右极限

$$L_{+}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$$

第四步

$$\boxed{L_{-}=L_{+}=f(x_0)}$$

参数方程自动出来。

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题型3：补充定义使函数连续

本质就是可去间断点修补。

如果

$$f(x_0)$$

没有定义或者定义错了，但

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$

存在，则直接补：

$$\boxed{f(x_0)=A}.$$

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真题：1992 年

网站收录的函数在 $x=1$ 处原本定义成 $f(1)=1$，但通过极限计算得到：

$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-4{\pi }^2.$$

因此原函数不连续，应改成

$$\boxed{f(1)=-4{\pi }^2}.$$

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第二大类：间断点

这是模块2的真正重点之一。

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1. 间断点分类必须背熟

第一类间断点

左右极限都存在且有限。

可去间断点

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A$$

但

$$f(x_0)\ne A$$

或者 $f(x_0)$ 没定义。

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跳跃间断点

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A,$$ $$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=B,$$

并且

$$A\ne B.$$

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第二类间断点

只要有一个单侧极限：

• 不存在；
• 或为无穷大；

就是第二类。

常见两个子类型：

无穷间断点

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty .$$

振荡间断点

例如：

$$\sin \frac{1}{x}.$$

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2. 万能判断流程

以后遇到“求间断点并分类”，一定按照：

第一步：列所有嫌疑点

来源包括：

• 分母为 0；
• 对数真数边界；
• 根式定义域边界；
• 反三角函数边界；
• 分段点；
• 极限定义函数发生形式改变的点。

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第二步：逐点算左右极限

不要看到“分母为零”就直接说无穷间断点。

这是一个非常重要的坑。

例如：

$$\frac{x^2-1}{x-1}$$

在 $x=1$ 分母为零，但约分以后：

$$x+1,$$

所以

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2.$$

这是可去间断点，不是无穷间断点。

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真题：2024 数二

网站题目：

$$f(x)=\frac{|x|}{(1-x)(x-2)}$$

问第一类间断点个数。

嫌疑点：

$$x=1,x=2.$$

在两个点附近，分子都不趋于零，而分母趋于零，因此函数无界。

于是两个点都是第二类中的无穷间断点。

所以：

$$\boxed{\text{第一类间断点个数}=0}.$$

这道题其实非常基础，但体现了考研喜欢考：

不要求把全部间断点都写出来，只问某一种类型的个数。

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题型4：复杂表达式寻找全部间断点

2020 真题就是很典型的综合型：

函数中同时出现指数、对数、分母等多个危险结构，要求第二类间断点个数。网站解题时先列出

$$x=-1,0,1,2$$

作为所有候选点，再逐个判断，最终 $x=0$ 为可去间断，其余三个属于第二类。

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这里总结一个非常好用的“嫌疑点表”

出现

$$\frac{1}{g(x)}$$

检查：

$$g(x)=0.$$

出现

$$\ln g(x)$$

检查：

$$g(x)=0.$$

出现

$$\sqrt{g(x)}$$

检查：

$$g(x)=0.$$

出现

$$\tan g(x)$$

检查：

$$g(x)=\frac{\pi }{2}+k\pi .$$

出现分段函数

检查分段点。

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题型5：含 $n\to \infty$ 的函数，再研究连续性

这是非常值得重视的一类。

先有：

$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x),$$

然后问：

$f(x)$ 在哪里连续？

核心绝不是直接研究二元极限。

而是：

$$\boxed{\text{先固定 }x\text{，求逐点极限}}$$

得到真正的 $f(x)$。

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真题：2024 数三

网站题目：

$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+x}{1+n{x}^{2n}}.$$

分三种情况。

当

$$|x|<1$$

指数衰减压过多项式：

$$n{x}^{2n}\to 0.$$

所以

$$f(x)=1+x.$$

---

当

$$|x|>1$$

有

$$n{x}^{2n}\to +\infty ,$$

所以

$$f(x)=0.$$

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当 $x=\pm 1$

单独代。

最后得到：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1+x,& |x|<1,\\ 0,& |x|\ge 1.\end{array}$$

于是：

在 $x=1$：

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=2,$$ $$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=0,$$

不连续。

在 $x=-1$：

$$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=0=f(-1),$$

连续。

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这一类的总方法

看到

$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{F}_n(x)$$

立即想：

$$\boxed{|x|<1,|x|=1,|x|>1}$$

尤其出现：

$$x^n,x^{2n},n{x}^n$$

时，几乎必然这么分类。

张宇1000题里也有类似强化题，把点态极限化成分段函数以后再通过边界连续性反求参数，这类题非常适合强化。

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第三大类：渐近线

这是模块2里最套路化、最值得拿满分的题型。

站内收录的真题一直到 2025 年。

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1. 铅直渐近线

如果

$$\underset{x\to x_0^{\pm }}{\lim }f(x)=\pm \infty ,$$

只要其中一侧成立，就有

$$\boxed{x=x_0}$$

是铅直渐近线。

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注意

不是：

$$f(x_0)\text{无定义}$$

就一定有铅直渐近线。

例如可去间断点没有铅直渐近线。

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2. 水平渐近线

若

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A,$$

则

$$\boxed{y=A}$$

是右侧水平渐近线。

若

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=B,$$

则

$$\boxed{y=B}$$

是左侧水平渐近线。

注意：

$$A\ne B$$

完全允许。

所以一条曲线最多可以有两条不同的水平渐近线。

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3. 斜渐近线

若希望：

$$y=ax+b$$

成为 $x\to \infty$ 时的渐近线，定义要求：

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-ax-b]=0}$$

实战求法：

$$\boxed{a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}}$$

然后：

$$\boxed{b=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-ax]}$$

前提是两个极限都是有限数，而且通常要求

$$a\ne 0.$$

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真题：2007 年——一题找三条渐近线

网站题目：

$$y=\frac{1}{x}+\ln (1+e^x).$$

$x\to 0$

$$\frac{1}{x}\to \pm \infty ,$$

所以：

$$\boxed{x=0}.$$

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$x\to +\infty$

写成：

$$\ln (1+e^x)=x+\ln (1+e^{-x}).$$

所以：

$$f(x)-x=\frac{1}{x}+\ln (1+e^{-x})\to 0.$$

于是：

$$\boxed{y=x}.$$

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$x\to -\infty$

$$\frac{1}{x}\to 0,$$ $$\ln (1+e^x)\to 0.$$

所以：

$$\boxed{y=0}.$$

最终三条：

$$\boxed{x=0,y=x,y=0}.$$

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这道题的核心启示

求渐近线必须分开研究：

$$x\to +\infty$$

与

$$x\to -\infty .$$

千万不要只算一个“$x\to \infty$”就结束。

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真题：2023 年——标准斜渐近线

网站收录：

$$y=x\ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right).$$

最后得到：

$$\boxed{y=x+\frac{1}{e}}.$$

这种题不要展开整个函数。

先：

$$a=\lim \frac{y}{x}=1.$$

再：

$$b=\lim (y-x).$$

而

$$\ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)-1=\ln \left(1+\frac{1}{e(x-1)}\right).$$

利用：

$$\ln (1+u)\sim u,$$

立即得到：

$$b=\frac{1}{e}.$$

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真题：2025 年——反函数渐近线

这是一个很值得注意的新变式。

网站给出 $g(x)$ 是

$$f(x)=\frac{1}{2}\ln \frac{3+x}{3-x}$$

的反函数，求 $y=g(x)$ 的渐近线。

反解：

$$e^{2y}=\frac{3+x}{3-x}.$$

所以：

$$x=3\frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}.$$

交换 $x,y$：

$$g(x)=3\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.$$

于是：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=3,$$ $$\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=-3.$$

所以：

$$\boxed{y=3,y=-3}.$$

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渐近线的万能扫描法

任何题都按这个顺序：

第一步：有限点

找所有：

• 分母为零；
• 定义域端点；
• 间断点。

检查：

$$\underset{x\to x_0^{\pm }}{\lim }f(x).$$

若无穷：

$$x=x_0.$$

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第二步：正无穷

先算：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x).$$

如果有限，水平渐近线结束。

若不是有限，再算：

$$a_{+}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x},$$ $$b_{+}=\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-a_{+}x].$$

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第三步：负无穷

同样重复：

$$a_{-},b_{-}.$$

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第四大类：导数的本质——极限

这是整个模块最重要的思想之一。

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1. 导数定义

$$\boxed{f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$$

所有“抽象极限求导数”都在想办法把题目变成这个形式。

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2. 可导的局部线性化

若 $f$ 在 $x_0$ 可导，则：

$$\boxed{f(x_0+h)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)h+o(h)}$$

这个公式在考研中极其强大。

甚至可以认为：

一元可导题，80%都可以用这一行处理。

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题型1：已知可导，求极限

真题：1987 年

若 $f(x)$ 在 $x=a$ 可导，求：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}.$$

利用展开：

$$f(a+x)=f(a)+f^{\prime }(a)x+o(x),$$ $$f(a-x)=f(a)-f^{\prime }(a)x+o(x).$$

相减：

$$f(a+x)-f(a-x)=2f^{\prime }(a)x+o(x).$$

因此：

$$\boxed{2f^{\prime }(a)}.$$

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更重要的推广

以后碰到：

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0+\beta h)}{h},$$

直接：

$$f(x_0+\alpha h)=f(x_0)+\alpha f^{\prime }(x_0)h+o(h),$$ $$f(x_0+\beta h)=f(x_0)+\beta f^{\prime }(x_0)h+o(h).$$

所以：

$$\boxed{(\alpha -\beta )f^{\prime }(x_0)}$$

这是一个非常值得直接记成模板的结论。

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题型2：可导函数塞入 $x^m$

真题：2011 年

条件：

$$f(0)=0,$$

且 $f$ 在 0 可导。

求：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^{2}f(x)-2f(x^3)}{x^3}.$$

因为：

$$f(x)=f^{\prime }(0)x+o(x).$$

所以：

$$x^{2}f(x)=f^{\prime }(0)x^3+o(x^3).$$

又：

$$f(x^3)=f^{\prime }(0)x^3+o(x^3).$$

因此分子：

$$-f^{\prime }(0)x^3+o(x^3).$$

于是：

$$\boxed{-f^{\prime }(0)}.$$

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这类题的神级模板

若：

$$f(0)=0,f^{\prime }(0)=A,$$

则：

$$\boxed{f(u)=Au+o(u)}.$$

不管 $u$ 是：

$$x,x^2,\sin x,e^x-1,\ln (1+x)$$

都可以直接代：

$$f(u)=Au+o(u).$$

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题型3：极限长得不像导数，但实际就是导数

例如：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0-2x)-f(x_0-x)}{x}.$$

不要想着洛必达。

直接局部展开：

$$f(x_0-2x)=f(x_0)-2x{f}^{\prime }(x_0)+o(x),$$ $$f(x_0-x)=f(x_0)-x{f}^{\prime }(x_0)+o(x).$$

于是：

$$\boxed{-f^{\prime }(x_0)}.$$

这也是网站 1994 真题使用的核心思想。

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题型4：极限 + 周期性 → 导数

1998 真题给：

• $f$ 可导；
• 周期为 4；
• 一个极限条件；
• 求 $x=5$ 处切线斜率。

先把极限识别成：

$$f^{\prime }(1),$$

再利用可导周期函数有：

$$f^{\prime }(x+T)=f^{\prime }(x).$$

所以：

$$f^{\prime }(5)=f^{\prime }(1).$$

网站最终求得：

$$\boxed{f^{\prime }(5)=-2}.$$

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第五大类：可导性的判断

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1. 最根本原则

函数在 $x_0$ 可导：

$$\boxed{f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)}$$

而可导一定推出：

$$\boxed{\text{连续}}$$

所以分段函数可导必须过两关：

$$\boxed{\text{连续}+\text{左右导数相等}}$$

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分段函数可导标准流程

第一关：连续

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x).$$

如果不连续：

$$\boxed{\text{立即不可导}}$$

不用再求导。

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第二关：左右导数

$$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},$$ $$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$

要求：

$$\boxed{f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)}$$

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真题：2004 大题

网站中给出函数满足平移关系：

$$f(x)=kf(x+2),$$

且在 $[0,2]$ 上：

$$f(x)=x(x^2-4).$$

要求在 $x=0$ 可导时求 $k$。

由平移关系先得到左侧表达式，再算：

$$f_{-}^{\prime }(0)=8k.$$

而右侧：

$$f_{+}^{\prime }(0)=-4.$$

所以：

$$8k=-4.$$

最终：

$$\boxed{k=-\frac{1}{2}}.$$

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第六大类：绝对值函数的可导性

这是非常容易出选择题的一类。

例如：

$$f(x)=g(x)|h(x)|.$$

真正危险的点通常是：

$$h(x)=0.$$

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但注意一个非常重要的结论

$$|x|$$

在 0 不可导。

但：

$$x|x|$$

在 0 可导。

甚至：

$$x^2|x|$$

可导性更高。

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真题：1998

网站：

$$f(x)=(x^2-x-2)|x^3-x|.$$

先找：

$$x^3-x=0,$$

即：

$$x=-1,0,1.$$

一般来说三个点都可能产生尖点。

但：

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$$

恰好在 $x=-1$ 又有一个零点。

于是附近相当于：

$$(x+1)|x+1|,$$

它在 0 可导。

所以最终真正不可导的只有：

$$\boxed{x=0,x=1}.$$

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这类题应该总结成

如果出现：

$$(x-a{)}^m|x-a{|}^n,$$

局部就看：

$$|x-a{|}^{m+n}$$

以及左右符号。

千万不要简单地认为：

有绝对值 ⇒ 一定不可导。

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第七大类：可导的充要条件

这是概念选择题里的难点。

网站专门有“可导的充要条件”一类真题。

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核心技巧：换元后能否覆盖 $0$ 的双侧邻域？

例如：

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1-e^h)}{h}.$$

若 $f(0)=0$，令：

$$t=1-e^h.$$

则：

$$t\to 0,$$

且：

$$h=\ln (1-t).$$

于是：

$$\frac{f(1-e^h)}{h}=\frac{f(t)-f(0)}{t}\cdot \frac{t}{\ln (1-t)}.$$

由于第二项趋于非零常数：

$$-1,$$

因此该极限存在等价于：

$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(t)-f(0)}{t}$$

存在。

也就是：

$$\boxed{f^{\prime }(0)\text{存在}}.$$

这正是网站 2001 真题的考法。

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一个超级重要的陷阱

如果换元结果只能满足：

$$t\ge 0,$$

那它最多能说明右导数。

例如：

$$t=h^2.$$

永远：

$$t\ge 0.$$

所以只能得到：

$$f_{+}^{\prime }(0).$$

网站 2006 真题正是利用 $h^2$ 区分左右导数。

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第八大类：导函数连续性

这类比“可导”再高一级。

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判断 $f^{\prime }(x)$ 在 0 连续需要两步

第一步

先真正求：

$$f^{\prime }(0).$$

必须用定义：

$$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(0)}{h}.$$

第二步

对：

$$x\ne 0$$

正常求导，得到 $f^{\prime }(x)$。

然后比较：

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)}$$

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真题：2003 年

网站函数形如：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{\lambda }\cos \frac{1}{x},& x\ne 0,\\ 0,& x=0.\end{array}$$

要求导函数在 0 连续，最后得到：

$$\boxed{\lambda >2}.$$

这类题的关键不是背答案，而是掌握：

第一次损失一个 $x$

因为算 $f^{\prime }(0)$：

$$\frac{f(h)}{h}$$

指数从 $\lambda$ 变成：

$$\lambda -1.$$

对 $x\ne 0$ 求导时，振荡项再次损失一个 $x$

会出现：

$$x^{\lambda -2}\sin \frac{1}{x}.$$

所以要求：

$$\lambda -2>0.$$

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高频模型总结

对：

$$x^{\alpha }\sin \frac{1}{x^{\beta }}$$

或

$$x^{\alpha }\cos \frac{1}{x^{\beta }},$$

要反复使用：

$$|\sin |\le 1,|\cos |\le 1.$$

每求一次导数，振荡复合项大约会额外损失：

$$x^{\beta +1}.$$

所以“可导几阶”“导函数连续几阶”本质上都是：

比较幂次到底够不够压住振荡。

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第九大类：微分

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1. 一元微分

$$\boxed{dy=f^{\prime }(x_0)dx}$$

而增量：

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$

可导意味着：

$$\boxed{\Delta y=dy+o(\Delta x)}$$

即：

$$\Delta y=f^{\prime }(x_0)\Delta x+o(\Delta x).$$

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2. dy 与 Δx 的阶

如果：

$$f^{\prime }(x_0)\ne 0,$$

那么：

$$dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x.$$

于是：

$$\frac{dy}{\Delta x}\to f^{\prime }(x_0)\ne 0.$$

所以：

$$\boxed{dy\text{ 与 }\Delta x\text{ 同阶}}$$

但只有当：

$$f^{\prime }(x_0)=1$$

时才等价。

网站 1988 真题就考了“同阶”和“等价”的区别。

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3. Δy 与 dy 比大小

若：

$$f^{\prime }(x)>0,f^{\prime \prime }(x)>0$$

且：

$$\Delta x>0,$$

因为函数递增且凹向上，曲线位于切线上方，因此：

$$\boxed{0<dy<\Delta y}$$

网站 2006 真题直接考过这一几何关系。

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第十大类：多元函数极限、连续、偏导、可微

这里是模块2里最容易“概念混乱”的地方。

一定要建立逻辑图。

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1. 必须牢记的关系

如果一阶偏导数在某邻域内存在，并且在该点连续，那么：

$$\boxed{\text{偏导连续}⟹\text{可微}}$$

而：

$$\boxed{\text{可微}⟹\text{连续}}$$

同时：

$$\boxed{\text{可微}⟹\text{偏导存在}}$$

因此：

$$\boxed{\text{偏导连续}⟹\text{可微}⟹\{\begin{array}{l}\text{连续},\\ \text{偏导存在}.\end{array}}$$

网站 2002 真题直接考过这个逻辑链。

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但反过来全部危险

偏导存在

不能推出连续。

连续

不能推出偏导存在。

偏导存在 + 连续

仍然不能自动推出可微，除非“偏导连续”等更强条件。

可微

也不要求偏导函数在该点连续。

这一条尤其重要。

2024 真题就考了：

函数在原点可微，但某偏导函数在原点不连续。

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第十一大类：二重极限不存在——路径法

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经典模型

$$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}.$$

在原点。

沿：

$$y=0$$

有：

$$f(x,0)=0.$$

沿：

$$y=x$$

有：

$$f(x,x)=\frac{1}{2}.$$

两个路径不同：

$$\boxed{\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)\text{ 不存在}}$$

网站 1994、1997 真题反复用这一经典反例说明：

偏导存在并不能保证连续。

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路径法的正确定位

路径法最适合：

$$\boxed{\text{证明极限不存在}}$$

只需找到两条路径结果不同即可。

但反过来：

所有直线路径极限都一样

不能证明二重极限一定存在。

这是常见错误。

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常用路径顺序

看到：

$$\frac{x^a{y}^b}{x^m+y^n}$$

先试：

$$y=kx.$$

如果不够，再试：

$$y=k{x}^p.$$

目的是让分母两项同阶。

例如：

$$x^m\sim y^n$$

就令：

$$y=x^{m/n}.$$

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第十二大类：偏导数在特殊点的计算

分段函数、多元绝对值函数，在特殊点不能直接套普通求导公式。

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定义

$$f_x(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}.$$ $$f_y(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}.$$

理解成：

• 求 $x$ 偏导：固定 $y=y_0$；
• 求 $y$ 偏导：固定 $x=x_0$。

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2023 真题

网站：

$$f(x,y)=\ln (y+|x\sin y|).$$

问在 $(0,1)$ 处两个偏导是否存在。

固定 $y=1$：

$$f(x,1)=\ln (1+|x|\sin 1).$$

在 $x=0$ 出现绝对值尖点，所以：

$$f_x(0,1)$$

不存在。

但固定 $x=0$：

$$f(0,y)=\ln y.$$

因此：

$$f_y(0,1)=1.$$

所以：

$$\boxed{f_x(0,1)\text{不存在},f_y(0,1)\text{存在}.}$$

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第十三大类：多元可微——必须真正掌握定义

二元函数在 $(x_0,y_0)$ 可微，定义为：

$$\Delta f=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho ),$$

其中：

$$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}.$$

如果可微，那么：

$$A=f_x(x_0,y_0),$$ $$B=f_y(x_0,y_0).$$

所以真正的判别式是：

$$\boxed{\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta f-f_x(x_0,y_0)\Delta x-f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\rho }=0}$$

这是模块2最重要的多元公式。

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多元可微题万能步骤

假设研究原点。

第一步：连续性

先求：

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y).$$

若不连续：

$$\boxed{\text{直接不可微}}$$

因为：

$$\text{可微}\Rightarrow \text{连续}.$$

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第二步：求两个偏导

用定义：

$$f_x(0,0),f_y(0,0).$$

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第三步：构造余项

$$R(x,y)=f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y.$$

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第四步

判断：

$$\boxed{\frac{R(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\to 0}$$

成立即可微。

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真题：2024

网站函数：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{xy},& xy\ne 0,\\ 0,& xy=0.\end{array}$$

由于坐标轴上函数为 0：

$$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0.$$

而：

$$|f(x,y)|\le x^2+y^2.$$

因此：

$$\frac{|f(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le \sqrt{x^2+y^2}\to 0.$$

所以：

$$\boxed{f\text{ 在原点可微}}.$$

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但它的偏导函数可以不连续

这正是这道 2024 真题真正想考的东西：

$$\boxed{\text{可微}\nRightarrow \text{偏导连续}}$$

因此答案是：

可微，但偏导函数不连续。

这道题非常值得反复做。

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第十四大类：从一个极限直接识别全微分

网站 2012 真题：

给出连续函数 $z=f(x,y)$，并知道：

$$\underset{(x,y)\to (0,1)}{\lim }\frac{f(x,y)-2x+y-2}{\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}}=0.$$

先由连续性确定：

$$f(0,1)=1.$$

于是分子可以整理为：

$$f(x,y)-f(0,1)-2x+(y-1).$$

和可微定义对比：

$$\Delta f=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho ).$$

直接读出：

$$A=2,$$ $$B=-1.$$

因此：

$$\boxed{dz{|}_{(0,1)}=2dx-dy}$$

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这一类以后完全可以秒杀

题目如果给：

$$\lim \frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-A(x-x_0)-B(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}=0,$$

直接读：

$$\boxed{df=Adx+Bdy}$$

不要再去偏导。

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第十五大类：方向导数与梯度——数一

这是公式非常少、收益非常高的一部分。

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1. 梯度

对于：

$$f(x,y,z),$$

梯度：

$$\boxed{\nabla f=\left(f_x,f_y,f_z\right)}$$

二元函数则：

$$\boxed{\nabla f=(f_x,f_y)}$$

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2. 方向导数

沿单位向量

$$\mathbf{e}$$

的方向导数：

$$\boxed{D_{\mathbf{e}}f=\nabla f\cdot \mathbf{e}}$$

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最大方向导数

由柯西不等式：

$$\nabla f\cdot \mathbf{e}\le |\nabla f||\mathbf{e}|.$$

由于：

$$|\mathbf{e}|=1,$$

所以：

$$\boxed{D_{\max }f=|\nabla f|}$$

最大方向：

$$\boxed{\mathbf{e}=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}}$$

最小方向导数：

$$\boxed{D_{\min }f=-|\nabla f|}$$

最小方向：

$$\boxed{-\frac{\nabla f}{|\nabla f|}}$$

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真题：2022 数一

$$f(x,y)=x^2+2y^2$$

求在 $(0,1)$ 的最大方向导数。

梯度：

$$\nabla f=(2x,4y).$$

所以：

$$\nabla f(0,1)=(0,4).$$

最大方向导数：

$$\boxed{|\nabla f(0,1)|=4}$$

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真题：2025 数一

网站：

$$u(x,y,z)=x{y}^2{z}^3,$$

方向向量：

$$\mathbf{n}=(2,2,-1).$$

先单位化：

$$|\mathbf{n}|=\sqrt{4+4+1}=3.$$

所以：

$$\mathbf{e}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right).$$

梯度：

$$\nabla u=(y^2{z}^3,2xy{z}^3,3x{y}^2{z}^2).$$

在 $(1,1,1)$：

$$\nabla u=(1,2,3).$$

于是：

$$D_{\mathbf{e}}u=(1,2,3)\cdot \left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right).$$

得到：

$$\boxed{1}.$$

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方向导数最大坑：忘记单位化

若题目说：

沿向量 $(1,2,2)$ 的方向

不能直接做：

$$\nabla f\cdot (1,2,2).$$

必须：

$$\mathbf{e}=\frac{(1,2,2)}{3}.$$

然后：

$$D_{\mathbf{e}}f=\nabla f\cdot \mathbf{e}.$$

网站 2017 真题就是这一标准考法。

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第十六大类：曲面法向方向导数

这是一种数一经典综合。

如果曲面：

$$F(x,y,z)=0,$$

则在一点处：

$$\boxed{\nabla F}$$

就是曲面的法向量。

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题型结构

题目说：

求函数 $u$ 沿曲面 $F=0$ 外法线方向的方向导数。

步骤：

① 求曲面梯度

$$\mathbf{n}=\nabla F.$$

② 判断内外方向

如果需要外法向，检查方向。

③ 单位化

$${\mathbf{e}}_n=\frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|}.$$

④ 求 $u$ 的梯度

$$\nabla u.$$

⑤ 点积

$$\boxed{D_{{\mathbf{e}}_n}u=\nabla u\cdot {\mathbf{e}}_n}$$

网站 1991 数一真题正是这个完整模型。

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第十七大类：梯度 + 条件极值的大题

这是数一可能出现的升级组合。

网站 2002 真题“小山”问题：

高度：

$$h(x,y)=75-x^2-y^2+xy.$$

问某点上坡最快方向，以及在山脚哪一点坡最陡。

第一问：

$$\nabla h=(y-2x,x-2y).$$

最快上升方向：

$$\boxed{\frac{\nabla h}{|\nabla h|}}$$

最大坡度：

$$\boxed{|\nabla h|}$$

第二问变成：

在约束曲线上最大化 $|\nabla h|$。

因此就是一个条件极值问题。

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这揭示了一个重要综合链

$$\boxed{\text{梯度}⟶\text{最大方向导数}⟶|\nabla f|⟶\text{条件极值}}$$

网站 2015 数一大题也采用了“曲线上最大方向导数”的相同结构。

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十八、练习题里值得吸收的变式

练习题题量不直接作为考频依据，因为站内目录也明确提醒应当“真题优先”。但李正元、张宇题库里有几种变式非常值得保留。

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变式1：多个间断函数做代数运算

李正元有题：

若 $f,g$ 在 $x_0$ 都间断，则 $f+g$、$fg$ 是否一定间断？

答案：

$$\boxed{\text{都不能确定}}$$

因为两个间断可以互相抵消。

例如：

$$g=-f$$

则：

$$f+g\equiv 0.$$

所以千万不要背：

间断 + 间断 = 间断。

这是错误的。

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变式2：间断函数经过平方后变连续

例如：

$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0,\\ 1,& x\ge 0.\end{array}$$

它在 0 跳跃。

但：

$$[\phi (x){]}^2\equiv 1.$$

于是平方以后连续。

这个反例在真题和李正元练习中都反复出现。

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变式3：高阶可导性

张宇1000题里有参数方程/绝对值函数，要求判断：

• 连续；
• 一阶导数是否存在；
• 一阶导函数是否连续；
• 二阶导数是否存在。

这种题非常适合强化“逐层升级”的判断：

$$\boxed{\text{连续}\to \text{一阶可导}\to f^{\prime }\text{连续}\to \text{二阶可导}}$$

每提高一级，都必须重新检查特殊点，而不能直接在分段公式上机械求导。

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十九、建议重点掌握的 12 个“秒杀模板”

如果要把整个模块2浓缩到考场上，实际上主要就是下面这些。

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模板1：连续

$$\boxed{\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f=f(x_0)}$$

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模板2：可去间断

$$\boxed{\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A\text{但}f(x_0)\ne A}$$

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模板3：跳跃

$$\boxed{L_{-}\ne L_{+},L_{-},L_{+}\in \mathbb{R}}$$

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模板4：第二类间断

$$\boxed{\text{至少一个单侧极限不存在或无穷}}$$

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模板5：铅直渐近线

$$\boxed{\underset{x\to x_0^{\pm }}{\lim }f(x)=\infty }$$

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模板6：水平渐近线

$$\boxed{\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=A\Rightarrow y=A}$$

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模板7：斜渐近线

$$\boxed{a=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}}$$ $$\boxed{b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }[f(x)-ax]}$$

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模板8：可导局部展开

$$\boxed{f(x_0+h)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)h+o(h)}$$

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模板9：分段可导

$$\boxed{\text{连续}+f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)}$$

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模板10：二元可微

$$\boxed{\Delta f=f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\rho )}$$

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模板11：方向导数

$$\boxed{D_{\mathbf{e}}f=\nabla f\cdot \mathbf{e}}$$

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模板12：最大方向导数

$$\boxed{D_{\max }=|\nabla f|}$$

方向：

$$\boxed{\frac{\nabla f}{|\nabla f|}}$$

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二十、最容易混淆的逻辑关系

这个表建议直接记。

2002、2024 等真题都在围绕这张逻辑网命题。

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二十一、可以认为未来非常值得防的几种考法

下面是根据真题结构做的变式预测，不是说一定会这样考，而是这些组合非常自然。

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预测1：连续 + 导数定义 + 参数

例如自拟：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{e^{ax}-1-bx}{x^2},& x\ne 0,\\ c,& x=0.\end{array}$$

要求：

1. 连续；
2. 可导；
3. 求 $a,b,c$。

解题思路：

连续首先要求一次项消失：

$$a-b=0.$$

于是：

$$b=a.$$

再展开：

$$e^{ax}=1+ax+\frac{a^2{x}^2}{2}+\frac{a^3{x}^3}{6}+o(x^3).$$

从而：

$$f(x)=\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}x+o(x).$$

于是：

$$c=\frac{a^2}{2},$$

且：

$$f^{\prime }(0)=\frac{a^3}{6}.$$

这种题一次把：

泰勒展开 + 连续 + 可导

串起来，非常符合考研风格。

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预测2：点态极限函数 + 可导性

已有真题经常考：

$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$$

的连续性。

自然可以升级成：

先求 $f(x)$，再问在边界点是否可导。

方法：

$$\boxed{\text{先求分段函数}\to \text{连续}\to \text{左右导数}}$$

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预测3：反函数 + 渐近线

2025 已经出现反函数渐近线。

后续完全可以进一步考：

原函数有铅直渐近线，反函数有什么渐近线？

记住几何上 $y=f(x)$ 与反函数关于：

$$y=x$$

对称。

因此：

原函数：

$$x=a$$

通常对应反函数：

$$y=a.$$

原函数：

$$y=b$$

对应反函数：

$$x=b.$$

但考试最好仍通过极限验证，而不是只靠图像猜。

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预测4：可微但偏导不连续

2024 已经明显重新强化这个概念。

以后很可能继续改变振荡项，例如：

$$(x^2+y^2{)}^{\alpha }\sin \frac{1}{x^m{y}^n}.$$

要求：

• 连续；
• 偏导存在；
• 可微；
• 某偏导是否连续。

这类统一用：

$$|f(x,y)|\le C(x^2+y^2{)}^{\alpha }$$

和：

$$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$$

比较阶数。

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预测5：方向导数 + 条件极值

2022 真题直接考最大方向导数，历史上又有“山坡”“曲线上最大方向导数”大题，因此很自然可以组合成：

在约束曲线 $g(x,y)=0$ 上求函数最大方向导数的最大值。

第一层：

$$D_{\max }f=|\nabla f|.$$

第二层：

$$\underset{g(x,y)=0}{\max }|\nabla f(x,y)|.$$

也就是：

$$\boxed{\text{方向导数}\to \text{梯度模}\to \text{条件极值}}$$

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二十二、模块2最终解题树

以后任何模块2题，先问自己它落在哪个分支。

$$\boxed{\text{题目出现一个极限}}$$

问“连续吗？”

想：

$$L_{-}=L_{+}=f(x_0).$$

问“什么间断点？”

想：

$$\text{左右极限分类}.$$

问“渐近线？”

想：

$$x\to x_0^{\pm },x\to +\infty ,x\to -\infty .$$

问“抽象函数极限？”

优先找：

$$f^{\prime }(x_0).$$

或者直接：

$$f(x_0+h)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)h+o(h).$$

问“分段函数可导？”

先：

$$\text{连续}.$$

再：

$$f_{-}^{\prime }=f_{+}^{\prime }.$$

问“二元函数极限不存在？”

找两条路径。

问“二元函数可微？”

先：

$$\text{连续}.$$

再偏导。

最后检查：

$$\frac{R}{\rho }\to 0.$$

问“方向导数？”

先单位化方向向量：

$$\mathbf{e}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}.$$

然后：

$$\nabla f\cdot \mathbf{e}.$$

问“最大方向导数？”

直接：

$$|\nabla f|.$$

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二十三、这一模块最值得精做的真题

如果不是刷数量，而是希望“做一道会一类”，建议优先把下面这些吃透：

1. 2017 连续参数题：分段连续 + 等价无穷小。
2. 2020 间断点题：多个候选奇点逐点分类。
3. 2024 数二间断点题：第一类/第二类概念。
4. 2024 数三点态极限函数：先求极限函数再判断连续。
5. 2007 渐近线题：一题同时找铅直、水平、斜渐近线。
6. 2023 斜渐近线题：标准 $a,b$ 法。
7. 2025 反函数渐近线：很重要的新变式。
8. 2011 已知可导求极限：局部线性化的标准范例。
9. 2001 可导充要条件：换元是否覆盖双侧邻域。
10. 2003 振荡函数导数连续性：幂次压振荡。
11. 2012 多元全微分：从可微定义直接读系数。
12. 2023 多元偏导题：绝对值 + 特殊点偏导定义。
13. 2024 多元可微题：可微不推出偏导连续。
14. 2022 数一最大方向导数：梯度模。
15. 2025 数一方向导数：向量单位化。
16. 2002 数一山坡大题：梯度 + 最大方向 + 条件极值。

这些题基本已经把模块2的骨架覆盖完整。相关真题均收录在站内对应五个模块页中。

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最后把模块2压成四句话

如果只允许下面给出留下四个最重要的东西，可优先选择：

$$\boxed{\text{连续}⟺\lim f=f(x_0)}$$ $$\boxed{f(x_0+h)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)h+o(h)}$$ $$\boxed{\text{多元可微}⟺\Delta f=f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\rho )}$$ $$\boxed{D_{\mathbf{e}}f=\nabla f\cdot \mathbf{e},D_{\max }=|\nabla f|}$$

模块2看起来题型很多，但真正掌握这四个“局部结构”，再加上间断点分类和渐近线扫描法，绝大部分真题都会变成同一套方法的不同包装。