高等数学模块 11：函数项级数（数一、数三）

本章围绕**函数项级数（数一、数三）**展开，以考研数学真题为主线，并参考高质量练习题进行补充，按照“题型识别 → 核心方法 → 代表题 → 易错点 → 变式拓展”的方式组织。

一、先建立模块11的总框架

如果把模块11压缩成一张“做题地图”，其实只有三个核心动作：

$$\boxed{\text{判收敛}}⟶\boxed{\text{把级数认成一个函数}}⟶\boxed{\text{利用函数反过来研究级数}}$$

幂级数部分最基本的对象是

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n.$$

需要形成非常强的“圆形收敛结构”意识：一定存在收敛半径 $R$，使得

$$|x-x_0|<R$$

时绝对收敛，

$$|x-x_0|>R$$

时发散，而

$$x=x_0-R,x=x_0+R$$

两个端点必须重新代回原级数单独判断。

这是整个模块最重要的底层规律。

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二、题型一：求收敛半径、收敛区间、收敛域——最高频基础题

网站真题中这一类从1988、1990、1992一直考到2020、2022，形式不断变化：直接给系数、给一个已知收敛点、换中心、出现 $x^{2n}$、先求导后换元、甚至直接给一般函数项。它绝不是“会比值法就结束”的题型。

1. 最基本模板：先找 $R$，最后查两个端点

对于

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n,$$

常用公式是

$$\frac{1}{R}=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|a_n|}.$$

若相邻项比值极限容易求，则通常更方便：

$$R=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|.$$

但一定要记住：

$$\boxed{\text{求出 }R\text{ 只得到开区间，不能自动决定端点。}}$$

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2. 代表真题：1988-12-5——标准“半径 + 端点”模板

题目为求

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-3{)}^n}{n{3}^n}$$

的收敛域。

令

$$t=\frac{x-3}{3},$$

原级数成为

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{t^n}{n}.$$

首先由

$$|t|<1$$

得到

$$|x-3|<3,$$

即

$$0<x<6.$$

但是这只是开区间。

当 $x=0$ 时：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}$$

收敛。

当 $x=6$ 时：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$$

发散。

所以最终：

$$\boxed{[0,6)}.$$

这道题几乎就是所有“直接求收敛域题”的母题。

这一类的固定答题顺序

永远写成：

$$\boxed{\text{求半径}\to \text{得到开区间}\to \text{左端点}\to \text{右端点}}$$

不要把端点判断掺进半径计算。

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三、题型二：已知一个点收敛/发散，反推其他点——非常爱考概念

代表真题：1988-12-3

已知

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-1{)}^n$$

在 $x=-1$ 收敛，判断 $x=2$ 时的敛散性。

$x=-1$ 到中心 $1$ 的距离是

$$|-1-1|=2.$$

因此至少有

$$R\ge 2.$$

而 $x=2$ 到中心的距离为

$$|2-1|=1<2.$$

因此 $x=2$ 位于收敛圆内部，必然绝对收敛。真题答案也是绝对收敛。

这里要掌握一个非常重要的推理链：

$$\boxed{x_1\text{ 收敛}\Rightarrow R\ge |x_1-x_0|}$$

于是任何满足

$$|x-x_0|<|x_1-x_0|$$

的点必绝对收敛。

反过来：

$$\boxed{x_2\text{ 发散}\Rightarrow R\le |x_2-x_0|}$$

所以比这个发散点离中心更远的位置全部发散。

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四、题型三：同时给收敛点和发散点，精确锁定半径

代表真题：2008-1-4

已知

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x+2{)}^n$$

在 $x=0$ 收敛，在 $x=-4$ 发散。

这两个点到中心 $-2$ 的距离都是 $2$。

由 $x=0$ 收敛：

$$R\ge 2.$$

由 $x=-4$ 发散：

$$R\le 2.$$

所以

$$\boxed{R=2}.$$

现在考

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-3{)}^n.$$

系数完全没变，所以半径仍然是

$$R=2.$$

中心变成 $3$，于是内部为

$$1<x<5.$$

再利用原来的端点信息：

$$x=5⟺x-3=2$$

对应原来的收敛端；

$$x=1⟺x-3=-2$$

对应原来的发散端。

因此

$$\boxed{(1,5]}.$$

这题说明一个非常重要的思想：

$$\boxed{\text{中心平移不改变系数对应的半径，只平移收敛区间。}}$$

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五、题型四：出现 $x^{2n}$、$(x-a{)}^{2n}$、复合变量——先换元，不要硬算

这是近年来很值得注意的一种变化。

代表真题：2020-3-4

已知

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-2{)}^n$$

收敛区间为

$$(-2,6).$$

中心为 $2$，所以

$$R=4.$$

乘一个 $n$ 不改变收敛半径，因此

$$\sum a_n{t}^n$$

关于 $t$ 的半径也是 $4$。

现在要求

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x+1{)}^{2n}.$$

不要把它看成奇怪的 $x$ 幂级数，直接令

$$t=(x+1{)}^2.$$

内部收敛要求

$$|t|<4.$$

由于

$$t=(x+1{)}^2\ge 0,$$

于是

$$(x+1{)}^2<4,$$

得到

$$|x+1|<2.$$

所以

$$\boxed{-3<x<1}.$$

真题答案为 $(-3,1)$。

统一方法

看到

$$\sum a_n[\phi (x){]}^n,$$

先把

$$t=\phi (x)$$

作为新变量。

如果关于 $t$ 的半径是 $R$，那么内部条件就是

$$|\phi (x)|<R.$$

之后解这个关于 $x$ 的不等式。

这一招不仅适用于

$$(x-a{)}^2,$$

还可以拓展到

$$x^3,e^{-x},\ln x,\frac{x}{1+x}.$$

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六、题型五：一般函数项级数的参数收敛域

代表真题：2022-1-5

网站收录的题是讨论

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!}{n^n}{e}^{-nx}$$

的收敛域。

设

$$u_n=\frac{n!}{n^n}{e}^{-nx}.$$

求比值：

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n{e}^{-x}.$$

利用

$${\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n\to e^{-1},$$

得到

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=e^{-(x+1)}.$$

所以收敛条件为

$$e^{-(x+1)}<1,$$

也就是

$$x>-1.$$

最后还要查临界点 $x=-1$。利用 Stirling 公式可知一般项不趋于零，因此发散，最终为

$$\boxed{(-1,+\infty )}.$$

这道2022真题说明：函数项级数不一定长成标准 $(x-a{)}^n$，本质仍然是把 $x$ 当参数，对 $n$ 使用常数项级数判别法。

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七、收敛半径最容易犯的四个错误

第一，看到

$$R=1$$

就直接写 $[-1,1]$。错，端点必须另判。

第二，认为逐项求导以后收敛域完全不变。正确结论只是：

$$\boxed{\text{收敛半径不变}}$$

端点可能改变。李正元练习题专门考了这一点：原级数两个端点发散，逐项积分以后端点可能收敛；反过来逐项求导可能破坏端点收敛。

第三，看到 $x^{2n}$ 就认为半径要“乘2”。应先设

$$t=x^2.$$

第四，把“函数的定义域”和“幂级数的收敛域”混为一谈。比如某个函数在端点没定义，但所得级数本身可能在那里收敛。网站1989年的反正切展开真题就体现了这一点。

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八、题型六：幂级数求和——模块11真正的大题核心

站内真题的“幂级数求和”又细分成三种：系数为有理函数、系数含阶乘、抽象型。这比单纯背几个展开式重要得多。

可以把所有求和题统一理解为：

$$\boxed{\text{想办法把系数 }{a}_n\text{ 变成一个已知级数的系数}}$$

常用武器只有四个：

$$\boxed{\text{拆}\text{求导}\text{积分}\text{微分方程}}$$

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九、求和必须背熟的“母级数”

最核心的是几何级数：

$$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n,|x|<1.$$

逐项求导：

$$\frac{1}{(1-x{)}^2}=\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}.$$

因此

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}.$$

再次求导可得到 $n^2$、$n(n-1)$ 型系数。

另一个绝对核心是

$$-\ln (1-x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}.$$

以及

$$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}.$$

反正切：

$$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.$$

指数函数：

$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}.$$

正弦余弦：

$$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},$$ $$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}.$$

真正考试时不是问“背没背”，而是把系数加工以后，要求识别它们。

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十、题型七：系数含 $1/n$、$1/(2n-1)$——优先想到积分或对数、反正切

代表真题：1987-12-10

网站真题要求求类似

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{n{2}^n}$$

的收敛域与和函数。

先提出一个 $x$：

$$S(x)=x\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{\left(\frac{x}{2}\right)}^n.$$

因为

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{t^n}{n}=-\ln (1-t),$$

所以

$$S(x)=-x\ln \left(1-\frac{x}{2}\right).$$

再单独处理端点，最终收敛域为

$$[-2,2).$$

所以以后看到

$$\frac{1}{n}$$

优先联想：

$$\ln (1\pm x).$$

看到

$$\frac{1}{2n+1}$$

同时又有

$$(-1{)}^n{x}^{2n}$$

优先联想：

$$\arctan x.$$

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十一、题型八：系数是复杂有理式——先部分分式

例如出现

$$\frac{1}{n(2n-1)}.$$

不要直接求和，先拆：

$$\frac{1}{n(2n-1)}=-\frac{1}{n}+\frac{2}{2n-1}.$$

于是一个复杂级数被拆成两块：

$$\frac{1}{n}$$

对应对数；

$$\frac{1}{2n-1}$$

对应反正切。

代表真题：2006-3-10

网站真题中有

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n+1}}{n(2n-1)}.$$

利用

$$\frac{1}{n(2n-1)}=-\frac{1}{n}+\frac{2}{2n-1},$$

最后组合出

$$\boxed{S(x)=2x^2\arctan x-x\ln (1+x^2)}.$$

收敛域为

$$[-1,1].$$

这是一道非常典型的大题：收敛域 + 部分分式 + 两个母级数 + 端点全部组合在一起。

可以形成机械化流程

若看到

$$\sum R(n)x^{kn+r},$$

其中 $R(n)$ 是有理函数，就先对

$$R(n)$$

进行部分分式，然后逐块识别。

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十二、题型九：系数有 $n,n^2,n(n-1)$——往“求导”方向走

以

$$\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)x^n$$

为例。

从

$$\sum x^n=\frac{1}{1-x}$$

得到

$$\sum n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}.$$

于是

$$\sum (2n+1)x^n=2\frac{x}{(1-x{)}^2}+\frac{1}{1-x}.$$

整理得

$$\boxed{\frac{1+x}{(1-x{)}^2}}.$$

这正是网站1990真题采用的方法。

所以识别规律是：

$$n⟺\text{求导一次},$$ $$n(n-1)⟺\text{求导两次},$$

而

$$\frac{1}{n+1}⟺\text{积分一次}.$$

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十三、题型十：级数本身不明显，但求导以后很明显——设和函数 $S(x)$

这是大题非常重要的策略。

比如

$$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}.$$

直接看系数不够漂亮。

但是求导：

$$S^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}.$$

马上变成

$$S^{\prime }(x)=-\ln (1-x).$$

然后积分：

$$S(x)=-{\int }_0^x\ln (1-t)dt.$$

利用

$$S(0)=0$$

确定常数。

得到

$$\boxed{S(x)=x+(1-x)\ln (1-x)}.$$

2021年数三真题就是把这个结构包装在微分方程 $y_n(x)$ 中，然后要求

$$\sum y_n(x)$$

的收敛域和和函数。

这说明现在的命题不会总直接说明：

求这个幂级数的和。

而可能先要求解出

$$y_n(x),$$

再突然出现

$$\sum _{n=1}^{\infty }{y}_n(x).$$

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十四、题型十一：一个函数项级数由两个不同级数组成——分别求，再取交集

代表真题：2021-1-12

网站题目把

$$e^{-nx}$$

与

$$\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$$

放进同一个级数中。

第一块：

$$\sum e^{-nx}$$

是几何级数，要求

$$x>0.$$

第二块：

$$\sum \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$$

收敛于

$$-1\le x\le 1.$$

所以整个函数项级数收敛域不是任选一个，而是

$$(0,+\infty )\cap [-1,1]=\boxed{(0,1]}.$$

这个原则非常重要：

$$\boxed{\sum (u_n+v_n)\text{ 的安全收敛域}=D_u\cap D_v}$$

大题喜欢故意让两部分的收敛机制完全不同。

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十五、题型十二：系数含阶乘——先想到 $e^x,\sin x,\cos x$

网站真题把“系数含阶乘”单独列为一个题型，说明这个方向值得专门掌握。

例如

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{2n+3}{(2n+1)!}.$$

先把

$$2n+3=(2n+1)+2$$

拆开：

$$\frac{2n+3}{(2n+1)!}=\frac{1}{(2n)!}+\frac{2}{(2n+1)!}.$$

于是

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{(2n)!}=\cos 1,$$ $$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{(2n+1)!}=\sin 1.$$

所以

$$\boxed{\cos 1+2\sin 1}.$$

这是2018年真题。

阶乘型看到什么想到什么

$$\frac{1}{n!}\Rightarrow e^x,$$ $$\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}\Rightarrow \cos x,$$ $$\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}\Rightarrow \sin x.$$

这是条件反射级别的知识。

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十六、题型十三：只取偶数项、奇数项或每隔几项——指数函数组合

代表真题：2023-3

网站真题问：

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}.$$

利用

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots ,$$ $$e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots .$$

相加以后奇次项消失：

$$e^x+e^{-x}=2\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}.$$

所以

$$\boxed{\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x}.$$

如果只要奇次项：

$$\frac{e^x-e^{-x}}{2}.$$

这还可以继续推广成“每隔3项取一次”。网站2002真题甚至考到

$$1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$$

并通过构造微分方程解决。

这类题的高级本质是按下标模 $m$ 分类。

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十七、题型十四：抽象系数递推 → 和函数微分方程——非常重要的综合题

这是可以认为必须重点掌握、而且很适合未来继续考的题型。

代表真题：2020-1-10

已知

$$a_1=1,$$

且

$$(n+1)a_{n+1}=\left(n+\frac{1}{2}\right)a_n.$$

求

$$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n.$$

关键不是先硬求 $a_n$。

因为

$$S^{\prime }(x)=a_1+\sum _{n=1}^{\infty }(n+1)a_{n+1}{x}^n.$$

代入递推关系：

$$S^{\prime }(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(n+\frac{1}{2}\right)a_n{x}^n.$$

注意

$$\sum n{a}_n{x}^n=x{S}^{\prime }(x),$$

而

$$\sum a_n{x}^n=S(x).$$

所以直接得到

$$S^{\prime }(x)=1+x{S}^{\prime }(x)+\frac{1}{2}S(x).$$

即

$$(1-x)S^{\prime }(x)-\frac{1}{2}S(x)=1.$$

于是幂级数问题转化成一个一阶线性微分方程。

最终得到网站给出的和函数。

这类题的统一算法

以后遇到

$$A(n)a_{n+1}=B(n)a_n+C(n),$$

先定义

$$S(x)=\sum a_n{x}^n.$$

然后利用：

$$S^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1},$$ $$x{S}^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^n,$$ $$x^2{S}^{\prime \prime }(x)=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_n{x}^n.$$

于是 $n$、$n^2$、$n(n-1)$ 都能翻译成 $S,S^{\prime },S^{\prime \prime }$。

核心字典就是：

$$\boxed{n\leftrightarrow x\frac{d}{dx}}$$

这其实就是“生成函数法”。

张宇1000题也专门安排了同类递推和函数题，说明这不是某一道真题的偶然技巧，而是一套值得强化的通法。

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十八、题型十五：幂级数展开——本质就是“求和”的逆过程

真题页面把展开题分为：

$$\boxed{\text{直接用公式}}$$

和

$$\boxed{\text{利用求导展开}}$$

两大类。

这里必须先理解：

求和是

$$\sum a_n{x}^n⟶f(x),$$

而展开是

$$f(x)⟶\sum a_n{x}^n.$$

所以两章其实是一件事的正反两个方向。

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十九、展开题第一大类：有理函数——部分分式 + 几何级数

代表真题：1987-4-6

求

$$f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}$$

的 $x$ 幂级数展开。

先因式分解：

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2).$$

部分分式：

$$\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{1-x}-\frac{1}{2-x}.$$

然后

$$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n,$$

而

$$\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{2^{n+1}}.$$

于是

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)x^n.$$

公共收敛区间由两者较小者决定：

$$\boxed{|x|<1}.$$

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二十、一个非常重要的快速判断：最近奇点决定展开半径

对于解析函数在 $x_0$ 附近展开，

$$f(x)=\sum a_n(x-x_0{)}^n,$$

如果能直接看出函数的奇点，那么展开半径通常就是

$$\boxed{R=x_0\text{ 到最近奇点的距离}}.$$

代表真题：2007-3-10

网站题为

$$f(x)=\frac{1}{x^2-3x-4}$$

在 $x=1$ 处展开。

分母：

$$x^2-3x-4=(x-4)(x+1).$$

两个奇点：

$$x=4,x=-1.$$

中心 $x_0=1$。

距离分别为

$$|4-1|=3,$$ $$|-1-1|=2.$$

所以还没正式展开，就应预判：

$$\boxed{R=2}.$$

也就是

$$-1<x<3.$$

真题展开后的结果正是如此。

这个“最近奇点”思想比机械展开更高级，也特别适合检查答案。

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二十一、非零点展开：第一步永远令 $t=x-x_0$

例如要求在

$$x=1$$

展开，那么立刻令

$$t=x-1,x=t+1.$$

把整个函数改写成 $t$ 的函数后，再按麦克劳林展开。

不要直接在原式里一边保留 $x$ 一边写 $(x-1{)}^n$，非常容易乱。

李正元练习题还专门要求分别把 $\ln x$ 在 $x=1$ 与 $x=2$ 展开，就是在训练这种中心平移能力。

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二十二、展开题第二大类：原函数难展开，导函数却非常漂亮

代表真题：1989-12-6

网站题为将

$$f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}$$

一类复合反正切函数展开成 $x$ 的幂级数。

直接处理反正切复合函数比较麻烦。

但是求导后可以化成

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}.$$

马上知道：

$$\frac{1}{1+x^2}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}.$$

积分：

$$f(x)=f(0)+\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.$$

再算 $f(0)$ 即可。网站正是利用这条路线。

因此以后遇到

$$\ln (\text{复杂式}),$$ $$\arctan (\text{复杂式}),$$ $$\frac{\text{复杂式}}{\text{复杂式}},$$

直接展开困难时，一定问自己一句：

它求导以后会不会简单很多？

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二十三、题型十六：展开后比较系数

代表真题：2018-3-10

网站真题给

$$\cos 2x-\frac{1}{(1+x{)}^2}=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n,$$

求 $a_n$。

分别展开：

$$\cos 2x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{2^{2k}}{(2k)!}{x}^{2k}.$$

以及

$$\frac{1}{(1+x{)}^2}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n(n+1)x^n.$$

然后比较 $x^n$ 系数。

因为余弦只含偶次幂，所以必须分：

$$n=2k$$

与

$$n=2k+1.$$

真题最后也给出了分奇偶的 $a_n$ 表达式。

因此看到“求 $a_n$”时，通常不是去算

$$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$

的高阶导数，而是：

$$\boxed{\text{分别展开}\to \text{整理为同次幂}\to \text{比较系数}}.$$

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二十四、题型十七：用展开式反求数项级数的和

这是考研特别喜欢的“二次利用”。

例如先证明

$$f(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{x}^{2n},$$

然后要求

$$\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n.$$

怎么办？

只需要找一个合适的 $x$，通常是

$$x=1,x=-1,x=\frac{1}{2}.$$

若 $x=1$ 在收敛域内，则

$$f(1)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n.$$

于是

$$\sum c_n=f(1)-1.$$

2001年的真题就通过反正切展开，最后令 $x=1$ 求出一个数项级数之和。

因此见到：

“展开成幂级数，并求某个数项级数的和”

实际上第二问通常就是在第一问里找特殊点代入。

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二十五、必须掌握的展开公式体系

不建议孤立背二十几个公式，应该从五个母公式生长出来。

第一族：

$$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n.$$

由它求导、积分可以生出大量有理函数和对数。

第二族：

$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}.$$

第三族：

$$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.$$

第四族：

$$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}.$$

第五族：

$$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.$$

再配合

$$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}.$$

实际上绝大多数考研展开题都能通过代换、求导、积分、拆分回到它们。

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二十六、傅里叶级数：数一专项，但题型其实很固定

网站傅里叶真题主要分成：

$$\boxed{\text{求傅里叶系数}}$$

以及

$$\boxed{\text{利用狄利克雷定理求级数在某点的和}}.$$

而“展开后求一个数项级数”经常作为前者的第二问。

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二十七、傅里叶级数总公式

若 $f(x)$ 定义在

$$[-l,l]$$

并作周期为 $2l$ 的周期延拓，则

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right],$$

其中

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx,$$ $$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx.$$

而

$$a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx.$$

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二十八、傅里叶最重要的提速技巧：先看奇偶性

如果

$$f(-x)=f(x),$$

那么 $f$ 为偶函数，所以

$$b_n=0.$$

只算余弦系数：

$$a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx.$$

如果

$$f(-x)=-f(x),$$

那么

$$a_n=0,$$

只算正弦系数：

$$b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx.$$

代表真题：1991-12-8

网站题为

$$f(x)=2+|x|,-1\le x\le 1,$$

周期为2。

这是偶函数，因此

$$b_n=0.$$

只算 $a_n$，最后得到只含奇数指标余弦项的傅里叶级数。再令 $x=0$，得到奇数平方倒数和，然后进一步推出

$$\boxed{\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}}.$$

这是“傅里叶展开 → 特殊点代入 → 数项级数求和”的经典模型。

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二十九、半区间展开：余弦 = 偶延拓，正弦 = 奇延拓

这是数一必须真正理解的地方。

若函数只定义在

$$0\le x\le l,$$

题目要求“余弦级数”，其实是在要求做偶延拓：

$$f(-x)=f(x).$$

所以展开只含

$$\cos \frac{n\pi x}{l}.$$

如果要求“正弦级数”，则做奇延拓：

$$f(-x)=-f(x).$$

所以只含

$$\sin \frac{n\pi x}{l}.$$

代表真题：1995-12-6

将

$$f(x)=x-1,0\le x\le 2$$

展开成周期为4的余弦级数。

因为周期

$$2l=4,$$

所以

$$l=2.$$

余弦基函数是

$$\cos \frac{n\pi x}{2}.$$

真题最终得到只有奇数指标存在的余弦级数。

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三十、傅里叶第二核心：狄利克雷收敛定理

在连续点 $x_0$，傅里叶级数通常收敛到

$$f(x_0).$$

在跳跃间断点，收敛到

$$\boxed{\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}}.$$

注意：不是 $f(x_0)$。

这是傅里叶最爱出的选择填空陷阱。

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三十一、代表真题：1988-12-3——周期端点最容易错

网站题给一个周期为2的分段函数，问傅里叶级数在

$$x=1$$

处的收敛值。

因为 $x=1$ 是周期连接点，所以右极限不能只看题目给出的区间。

应利用周期性：

$$f(1+0)=f(-1+0).$$

然后

$$S(1)=\frac{f(1-0)+f(-1+0)}{2}.$$

该题最终得到

$$\boxed{\frac{3}{2}}.$$

所以傅里叶端点题必须记住：

$$\boxed{b+0\text{ 要跨一个周期看回 }a+0}.$$

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三十二、代表真题：1989-12-3——正弦级数的奇延拓

已知

$$f(x)=x^2,0\le x<1,$$

构造其正弦级数。

正弦级数对应奇延拓，因此在负半轴

$$F(-x)=-F(x).$$

所以在

$$x=-\frac{1}{2}$$

处：

$$S\left(-\frac{1}{2}\right)=-f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}.$$

真题答案就是

$$\boxed{-\frac{1}{4}}.$$

这类题根本不需要真正去算 $b_n$。

题目如果只问某一点的级数和，首先想：

$$\boxed{\text{能不能直接靠延拓 + 周期性 + 狄利克雷解决？}}$$

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三十三、近年傅里叶开始和其他章节组合

网站收录的2024数一真题先要求得到余弦系数 $a_n$，随后求类似

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\sin a_{2n-1}.$$

先通过傅里叶积分得到

$$a_{2n-1}\sim -\frac{1}{\pi n^2},$$

再利用

$$\sin t\sim t(t\to 0)$$

求极限，最终得到

$$-\frac{1}{\pi }.$$

这道题非常值得关注，因为它说明傅里叶现在完全可能与极限、等价无穷小、渐近估计组合，而不是只机械计算 $a_n,b_n$。

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三十四、李正元与张宇题库中最值得补的内容

不建议把两套练习题里的所有无穷级数都归到模块11，因为其中大量题其实属于前面的“模块10常数项级数”。真正值得拿来补模块11的主要是下面这些方向。

李正元还给出了 $\arcsin x$、$\ln x$ 在不同中心的展开以及通过比较系数求高阶导数等练习；张宇1000题则明显强化了递推数列生成函数法和交换求和顺序，这些都比简单重复求半径更值得做。

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三十五、一个题库解析值得注意的地方

考虑到站内答案可能极少数存在问题，复杂结论仍应独立验算。

例如张宇1000题页面中有一道题：已知

$$\sum n{a}_n(x+1{)}^n$$

在某点收敛，再讨论

$$\sum a_n(x-1{)}^{2n}.$$

网站当前解析也特别注明：依据题设能够严格推出的是一个“必然收敛范围”，但未必足以唯一确定整个精确收敛域。这个备注本身是合理的，也说明刷模拟题时不能因为有现成答案，就跳过“题设是否真的足够”的检查。

这也是很重要的考研能力：

$$\boxed{\text{先判断“能推出什么”，再判断“答案要求推出什么”。}}$$

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三十六、建议把模块11压成六套“万能模板”

这部分是真正需要形成肌肉记忆的内容：

只要这六类反射建立起来，模块11的大部分题目会从“找技巧”变成“判断属于哪套模板”。

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三十七、可以认为最可能继续出现的拓展考法

结合网站真题尤其是2020—2024的变化，更建议防下面三种综合化，而不是担心特别偏的公式。

第一种是递推系数 + 和函数微分方程 + 特殊点求数项级数。比如先给

$$(n+1)a_{n+1}=(n+\alpha )a_n,$$

要求求

$$S(x)=\sum a_n{x}^n,$$

最后再求

$$\sum a_n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n.$$

前两问生成微分方程，最后一问就是算

$$S\left(\frac{1}{2}\right).$$

第二种是复合变量收敛域 + 求和函数，例如

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n}.$$

第一步不是对 $x$ 使用比值法，而是令

$$t={\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^2.$$

然后识别

$$\sum (-1{)}^{n-1}\frac{t^n}{n}=\ln (1+t).$$

同时还要把

$$|t|\le 1$$

重新解成关于 $x$ 的范围。

第三种是傅里叶系数渐近 + 极限。2024已经出现了这一倾向，因此完全可能继续出现

$$n^2{a}_n,n^2\sin a_n,\frac{a_{2n}}{a_{2n-1}}$$

之类问题。核心不再是完整写出级数，而是精确抓住

$$a_n\sim \frac{C}{n^k}.$$

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三十八、一道可以认为很有价值的预测题

设

$$a_1=1,(n+1)a_{n+1}=\left(n+\frac{1}{3}\right)a_n,$$

并令

$$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n.$$

求 $S(x)$。

直接有

$$S^{\prime }(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(n+1)a_{n+1}{x}^n.$$

代递推式：

$$S^{\prime }(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(n+\frac{1}{3}\right)a_n{x}^n.$$

所以

$$S^{\prime }(x)=1+x{S}^{\prime }(x)+\frac{1}{3}S(x).$$

即

$$(1-x)S^{\prime }(x)-\frac{1}{3}S(x)=1.$$

化成

$$S^{\prime }(x)-\frac{1}{3(1-x)}S(x)=\frac{1}{1-x}.$$

这已经完全变成一阶线性微分方程。

真正重要的不是最后答案，而是能立刻完成：

$$\boxed{(n+1)a_{n+1}\to S^{\prime }(x)}$$

和

$$\boxed{n{a}_n\to x{S}^{\prime }(x)}$$

之间的翻译。

这就是2020真题及张宇相关强化题真正想训练的能力。

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三十九、模块11最后应该达到什么水平

不应把目标定成“可求收敛半径、会背几个泰勒公式”。真正达到考研大题水平，应当看到一个函数项级数以后，能在几十秒内判断：

$$\boxed{\text{它是收敛问题、识别问题、微积分变换问题，还是生成函数问题？}}$$

看到

$$\frac{1}{n}$$

马上想到积分和对数；

看到

$$n$$

马上想到求导；

看到

$$(2n)!,$$

马上想到 $\cos x$ 或 $\cosh x$；

看到

$$(2n+1)!$$

马上想到 $\sin x$；

看到

$$a_{n+1},n{a}_n$$

马上想到 $S^{\prime }(x)$；

看到

$$(x-a{)}^{2n}$$

马上令

$$t=(x-a{)}^2;$$

看到傅里叶级数首先不是积分，而是先问：

$$\boxed{\text{奇函数？偶函数？半区间？间断点？周期端点？}}$$

如果这些反应已经形成，那么模块11基本就从“很多零散公式”变成了一套非常统一的系统。

复习优先级上，建议：幂级数求和 ≈ 收敛域 ＞ 幂级数展开 ＞ 傅里叶系数与狄利克雷定理；数一再把傅里叶整体提高一级。 真题页面也显示收敛域与求和的题型数量、综合程度都明显更高，而近年的2020递推和函数、2021函数项级数、2022复合求和、2023阶乘识别、2024系数抽取都说明：现在更值得练的是“识别 + 转化 + 综合”，而不是只刷最标准的套公式题。