高等数学模块 4：导数的应用

考研高等数学模块 4 系统精讲：围绕导数的应用梳理知识点、核心题型、代表真题、通用解法、易错点与变式拓展。

本章围绕导数的应用展开，以考研数学真题为主线，并参考高质量练习题进行补充，按照“题型识别 → 核心方法 → 代表题 → 易错点 → 变式拓展”的方式组织。

一、模块4在考研中的真正地位

模块4可以概括成一句话：

把“导数是一个数”升级成“导数能够控制整个函数”。

模块3解决的是：

f^{'} (x) 怎么算？

模块4解决的是：

f^{'} (x), f^{''} (x)

算出来以后到底有什么用？

核心逻辑链是：

f^{'} (x) ⟹ 单调性 ⟹ 极值、最值 ⟹ 函数大小 ⟹ 不等式 ⟹ 方程根的个数 .

二阶导数则是：

f^{''} (x) ⟹ f^{'} (x) 的单调性 ⟹ 凹凸性 ⟹ 拐点 ⟹ 切线与曲线的位置关系 .

因此这个模块的综合性很强。

建议按考研价值分级：

题型	重要度
单调性、极值、最值	★★★★★
函数不等式	★★★★★
方程根个数、参数范围	★★★★★
多元函数极值、最值	★★★★★
切线、法线、相切	★★★★
凹凸性、拐点	★★★★
曲率	★★★ 数一/数二
相关变化率	★★★ 数一/数二
空间切平面、法线	★★★★ 数一
弹性、边际、利润最优	★★★★ 数三

二、第一大题型：切线、法线与相切

这是模块4最标准的小题体系。

网站真题从 1987、1988、1989 一直覆盖到 2023，包括普通显函数、隐函数、参数方程、极坐标、变限积分曲线等各种形式。比如：

1987： $y = arctan x$ 在 $x = 1$ 处的切线和法线；
1990：参数曲线 $x = cos^{3} t, y = sin^{3} t$ 的法线；
2001：隐函数曲线在指定点的法线；
2014：极坐标 $r = θ$ 的切线；
2020：隐式曲线 $x + y + e^{2 x y} = 0$ 的切线；
2023： $3 x^{3} = y^{5} + 2 y^{3}$ 的法线斜率。

2.1 最基本母公式

曲线

y = f (x)

在

P (x_{0}, y_{0})

处可导。

切线斜率：

k_{T} = f^{'} (x_{0}) .

切线：

y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .

若

f^{'} (x_{0}) \neq = 0,

法线斜率：

k_{N} = - \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} .

所以法线：

y - y_{0} = - \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} (x - x_{0}) .

但有两个特殊情况必须单独记：

f^{'} (x_{0}) = 0

时，切线水平：

y = y_{0},

法线竖直：

x = x_{0} .

三、切线题真正考的是“先找到斜率”

切线公式本身几乎没有难度。

难点永远是：

$f^{'} (x_{0})$ 怎么得到？

考研可以给出五种曲线形式。

类型1：显函数

例如网站 1987-3：

y = arctan x .

有

y^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}} .

在 $x = 1$ ：

y^{'} (1) = \frac{1}{2} .

于是直接写切线和法线。

这一类属于基础送分。

四、类型2：导数定义伪装成切线

这是比直接求导更值得重视的题型。

网站 1995-45 给出类似

x \to 0 lim \frac{f ( 1 ) - f ( 1 - x )}{2 x} = - 1,

问 $x = 1$ 处切线斜率。

注意

f^{'} (1) = h \to 0 lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} .

也可以改写：

f^{'} (1) = x \to 0 lim \frac{f ( 1 ) - f ( 1 - x )}{x} .

所以题目实际上直接说明导数。

网站该题得到

f^{'} (1) = - 2.

母题识别信号

一看到：

x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a},

或者各种平移形式：

\frac{f ( a ) - f ( a - h )}{h},

立即想到：

f^{'} (a) .

五、类型3：隐函数切线

典型如网站 2020-3：

x + y + e^{2 x y} = 0

在

(0, - 1)

处求切线。

不要先解 $y$ 。

直接对 $x$ 求导：

1 + y^{'} + e^{2 x y} \cdot 2 (y + x y^{'}) = 0.

再把点代进去。

核心原则：

隐函数切线 = 隐函数求导 + 点斜式。

如果写成

F (x, y) = 0,

则还有一个非常好用的统一公式：

F_{x} + F_{y} y^{'} = 0,

所以

y^{'} = - \frac{F _{x}}{F _{y}}

只要

F_{y} \neq = 0.

这个公式以后在多元函数里还会再次出现。

六、类型4：参数方程切线

若

x = φ (t), y = ψ (t),

则

\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} = \frac{ψ ^{'} ( t )}{φ ^{'} ( t )} .

网站有大量真题。

例如 2013-2：

x = arctan t, y = \frac{1}{2} ln (1 + t^{2}),

在 $t = 1$ 点求法线。网站计算出

\frac{d y}{d x} = t,

所以 $t = 1$ 时切线斜率为 $1$ ，法线斜率为 $- 1$ 。

标准步骤

永远四步：

t_{0}

↓

求点

(x_{0}, y_{0})

↓

算

\frac{d y}{d x} = \frac{y _{t}}{x _{t}}

↓

点斜式。

七、类型5：极坐标切线

若

r = r (θ),

转换成参数方程：

x = r (θ) cos θ, y = r (θ) sin θ .

于是

\frac{d y}{d x} = \frac{r ^{'} ( θ ) sin θ + r ( θ ) cos θ}{r ^{'} ( θ ) cos θ - r ( θ ) sin θ} .

网站 2014-2：

r = θ,

在

(r, θ) = (\frac{π}{2}, \frac{π}{2})

处求切线，就是直接把极坐标转为参数形式。

八、类型6：两条曲线相切

这是一个非常稳定的模型。

两曲线

y = f (x), y = g (x)

在 $x = x_{0}$ 相切。

必须同时满足：

f (x_{0}) = g (x_{0})

以及

f^{'} (x_{0}) = g^{'} (x_{0})

即：

同点 + 同斜率。

这是相切的核心。

网站 2010-2：

y = x^{2}

与

y = a ln x

相切。

设切点横坐标为 $x_{0}$ 。

函数值相等：

x_{0}^{2} = a ln x_{0} .

导数相等：

2 x_{0} = \frac{a}{x _{0}} .

由此

a = 2 x_{0}^{2} .

代回：

x_{0}^{2} = 2 x_{0}^{2} ln x_{0},

所以

ln x_{0} = \frac{1}{2} .

最后得到

a = 2 e .

以后看到“相切”，机械建立

{F (x_{0}) = G (x_{0}), F^{'} (x_{0}) = G^{'} (x_{0}) .

如果其中一条是 $x$ 轴：

g (x) = 0,

则条件立刻变成

f (x_{0}) = 0, f^{'} (x_{0}) = 0.

所以：

函数图像与 $x$ 轴相切 ⇔ 该零点通常是重根。

网站 2003-3 就考了

y = x^{3} - 3 a^{2} x + b

与 $x$ 轴相切。

九、第二大体系：导数的物理意义——相关变化率

网站真题包括：

2010：长方形长宽同时变化，求对角线变化率；
2016：点在 $y = x^{3}$ 上运动，求到原点距离变化率；
2021：圆柱半径、高变化，求体积和表面积变化率。

张宇1000题也有大量同型练习，例如点在

9 y = 4 x^{2}

上运动，已知

\frac{d x}{d t},

求到原点距离

r

的变化率。

统一算法只有四步

比如

x = x (t), y = y (t)

满足某个关系

F (x, y) = 0.

第一步：建立几何关系。

第二步：整个等式对 $t$ 求导。

第三步：代入当前时刻的数据。

第四步：解目标变化率。

最典型结构

距离：

r^{2} = x^{2} + y^{2} .

对时间求导：

2 r \frac{d r}{d t} = 2 x \frac{d x}{d t} + 2 y \frac{d y}{d t} .

因此

\frac{d r}{d t} = \frac{x \frac{d x}{d t} + y \frac{d y}{d t}}{r}

注意这里最大的坑：

不要先把数值代进去再求导。

因为 $x, y, r$ 都是 $t$ 的函数。

十、第三大体系：曲率

曲率属于数一、数二的重要小题知识。

函数曲线

y = f (x)

的曲率：

κ = \frac{∣ y ^{''} ∣}{[ 1 + ( y ^{'} ) ^{2} ] ^{3/2}}

曲率半径：

ρ = \frac{1}{κ}

参数曲线：

x = x (t), y = y (t)

则

κ = \frac{∣ x ^{'} y ^{''} - y ^{'} x ^{''} ∣}{( x ^{'2} + y ^{'2} ) ^{3/2}}

网站真题包括：

2012： $y = x^{2} + x$ 上指定曲率的点；
2014：参数曲线指定点的曲率半径；
2018：参数曲线曲率；
2019：两曲线相切且曲率相等的充分必要关系；
2024：抛物线 $y^{2} = x$ 在原点的曲率圆。

这里有一个高价值认识：

如果两曲线在同一点相切，那么

f^{'} (x_{0}) = g^{'} (x_{0}) .

此时曲率比较实际上只剩

∣ f^{''} (x_{0}) ∣ 与 ∣ g^{''} (x_{0}) ∣

的比较。

网站 2016-2 就把：

公切线 + 曲率大小 + f^{''} < 0

组合起来判断两条曲线与公切线之间的上下位置。

这是很有区分度的综合题。

十一、模块4第一核心：单调性

这是必须彻底掌握的一块。

网站甚至从 1987 年开始直接考概念：

若 $f (x)$ 单调递增，是否一定 $f^{'} (x) > 0$ ？

答案：不一定。

例如

f (x) = x^{3}

严格递增，但是

f^{'} (0) = 0.

因此：

f^{'} (x) > 0

是严格递增的充分条件，但不是必要条件。

反过来，如果在区间内

f^{'} (x) > 0,

则由拉格朗日中值定理可以推出严格递增。

十二、求单调区间：标准机器算法

对于

y = f (x),

永远按照下面做。

Step 1：定义域

先求：

D_{f} .

这是大量失分的源头。

Step 2：求导

f^{'} (x) .

Step 3：找分界点

包括：

f^{'} (x) = 0

的点，以及

f^{'} (x)

不存在但

f (x)

有定义的点。

Step 4：符号表

若

f^{'} (x) > 0,

函数递增；

若

f^{'} (x) < 0,

函数递减。

十三、比“求单调区间”更重要：构造单调函数

考研真正有价值的是：

题目并不给出一个现成的 $f (x)$ ，而是要求自己构造。

这是模块4高分题的核心能力。

十四、题型：比较两个函数大小

若要求证明

A (x) > B (x),

第一反应：

F (x) = A (x) - B (x) .

目标转化成：

F (x) > 0.

然后通过

F^{'} (x)

研究 $F$ 。

这叫作差法。

代表真题：1990-3

证明 $x > 0$ 时

arctan x + \frac{1}{x} > \frac{π}{2} .

网站构造：

F (x) = arctan x + \frac{1}{x} - \frac{π}{2} .

求导：

F^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} - \frac{1}{x ^{2}} = - \frac{1}{x ^{2} ( 1 + x ^{2} )} < 0.

所以 $F$ 递减。

再利用

x \to + \infty lim F (x) = 0.

由于递减且最后趋向 $0$ ，于是

F (x) > 0.

所以不等式成立。

这是非常重要的模板

如果目标：

A (x) > B (x),

构造

F = A - B .

然后寻找：

特殊点 $F (x_{0}) = 0$ ；
或极限

lim F = 0.

最后用单调性判断符号。

十五、函数不等式的四大构造法

以后所有导数证明不等式，优先尝试下面四类。

1. 作差

F = A - B .

最常用。

2. 作商

尤其是出现：

a f (b) 和 b f (a)

这种结构。

例如条件

x f^{'} (x) > f (x) .

应立刻想到：

(\frac{f ( x )}{x})^{'} = \frac{x f ^{'} ( x ) - f ( x )}{x ^{2}} .

李正元练习题就专门训练了这种题。

所以：

x f^{'} - f

看到它要条件反射成：

(\frac{f}{x})^{'} .

3. 取对数

遇到：

f (x) = u (x)^{v (x)}

或者比较乘积、幂函数。

例如网站真题证明

(1 + \frac{1}{x})^{x}

单调增加。

令

F (x) = ln f (x) = x ln (1 + \frac{1}{x}) .

然后研究

F^{'} (x) .

网站 1991 大题就是这个标准模型。

4. 引入参数或固定一个变量

例如网站 1992 真题：

若

f^{''} (x) < 0, f (0) = 0,

证明

f (x_{1} + x_{2}) < f (x_{1}) + f (x_{2}) .

固定 $x_{2}$ ，构造

F (x) = f (x + x_{2}) - f (x) .

则

F^{'} (x) = f^{'} (x + x_{2}) - f^{'} (x) .

因为

f^{''} < 0,

所以 $f^{'}$ 递减，于是

F^{'} (x) < 0.

所以

F (x_{1}) < F (0),

立刻得到目标。

这类题体现了一个高级技巧：

二阶导数不能直接用时，就先用它控制一阶导数，再构造一阶差分。

十六、模块4最重要题型之一：方程根的个数

网站单独给这一类型安排了一整部分，而且真题很多。

这是必须形成固定算法的地方。

十七、根的个数 = 图像和 $x$ 轴交点数

方程

F (x) = 0

有几个实根，本质上问：

$y = F (x)$ 与 $x$ 轴有几个交点？

因此：

F^{'} (x)

控制图像的走向。

最核心框架：

存在性 + 唯一性

十八、唯一根证明模板

如果要求证明：

F (x) = 0

恰有一个根。

第一步：证明“至多一个”

证明

F^{'} (x) > 0

或

F^{'} (x) < 0.

于是 $F$ 严格单调。

所以至多一个零点。

第二步：证明“至少一个”

寻找

F (a) F (b) < 0

或者

x \to - \infty lim F (x) < 0, x \to + \infty lim F (x) > 0.

利用零点定理。

两者结合：

恰有一个根

十九、代表真题：1990

证明

x + p + q cos x = 0, 0 < q < 1

恰有一个实根。

令

F (x) = x + p + q cos x .

则

F^{'} (x) = 1 - q sin x .

因为

sin x \leq 1,

所以

F^{'} (x) \geq 1 - q > 0.

故 $F$ 严格递增。

又有

x \to - \infty lim F (x) = - \infty,

x \to + \infty lim F (x) = + \infty.

因此恰有一个零点。

这个题应该背的是逻辑，不是答案。

二十、多个根：看极值

如果 $F$ 不是单调的，就找：

F^{'} (x) = 0.

用极值将整个实轴切成若干单调段。

然后观察每段能否过零。

代表真题：2019

x^{5} - 5 x + k = 0

有三个不同实根，求 $k$ 范围。

令

F (x) = x^{5} - 5 x + k .

则

F^{'} (x) = 5 (x^{4} - 1) = 5 (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) .

驻点：

x = \pm 1.

于是：

$(- \infty, - 1)$ 增；
$(- 1, 1)$ 减；
$(1, + \infty)$ 墊。

极大值：

F (- 1) = 4 + k .

极小值：

F (1) = k - 4.

要出现三个横截：

F (- 1) > 0, F (1) < 0.

所以：

4 + k > 0,

k - 4 < 0.

得到：

- 4 < k < 4 .

二十一、这一题直接推广成万能模板

若函数形状为：

↗ ↘ ↗

即存在一个极大值 $M$ 和一个极小值 $m$ 。

想让方程

F (x) = 0

有三个不同实根，通常要求：

M > 0, m < 0.

如果：

M = 0

或

m = 0,

往往出现相切，从“三个不同根”降为“两个不同根”。

这是高频考法。

二十二、含参数方程根数：换成水平线问题

网站 2021-23：

f (x) = a x - b ln x, a > 0

有两个零点，求参数范围。

技巧：

不要死磕原函数。

零点方程：

a x = b ln x .

整理成：

\frac{b}{a} = \frac{x}{ln x} .

设

r = \frac{b}{a} .

问题变成：

y = r

与

y = \frac{x}{ln x}

有几个交点。

这就是：

参数方程根数 → 参数水平线与辅助函数的交点数。

张宇1000题也大量训练这种模型，例如

a e^{x} - b x = 0

有两个零点时，把参数整理成

\frac{b}{a} = \frac{e ^{x}}{x},

再研究右端最值。

二十三、根数题统一决策树

以后遇到

F (x, λ) = 0

问参数 $λ$ 范围：

优先路线 A

整理为

λ = φ (x) .

然后求：

φ^{'} (x),

画值域和单调图。

如果整理不出来

直接令

G_{λ} (x) = F (x, λ),

求

G_{λ}^{'} (x),

找到极大值、极小值，再要求它们跨过 $0$ 。

二十四、凹凸性的本质

为避免不同教材“凹/凸”术语方向不一致，最稳的理解是：

若

f^{''} (x) > 0,

那么：

f^{'} (x)

递增。

曲线“开口向上”。

且曲线通常位于切线上方。

若

f^{''} (x) < 0,

那么：

f^{'} (x)

递减。

曲线“开口向下”。

且曲线通常位于切线下方。

这比背“凹函数/凸函数”名称更不容易混。

二十五、拐点不是 $f^{''} = 0$

这是极高频概念陷阱。

真正定义：

曲线经过某点时，凹凸性发生改变。

所以：

f^{''} (x_{0}) = 0

只是候选条件。

并不充分。

例如：

f (x) = x^{4} .

有：

f^{''} (x) = 12 x^{2} .

于是：

f^{''} (0) = 0.

但 $f^{''}$ 在 $0$ 两边都是正的，所以没有改变凹凸性。

因此 $0$ 不是拐点。

李正元练习题中特意设置了同型陷阱：二阶导数虽在某点为 $0$ ，但若两侧不变号，该点不是拐点。

二十六、极值也不是 $f^{'} = 0$

同样必须区分。

f^{'} (x_{0}) = 0

只能说明 $x_{0}$ 是驻点。

并不一定是极值点。

例如：

f (x) = x^{3} .

有

f^{'} (0) = 0,

但：

f^{'} (x) > 0

在 $0$ 两边都成立，所以函数一直递增。

因此 $0$ 不是极值点。

二十七、反过来：极值点也不一定导数等于0

例如：

f (x) = ∣ x ∣.

在

x = 0

取得极小值。

但

f^{'} (0)

不存在。

所以费马定理必须带前提：

若 $x_{0}$ 是定义域内点， $f$ 在 $x_{0}$ 可导，并且 $x_{0}$ 为极值点，则

f^{'} (x_{0}) = 0.

网站真题和李正元题库都反复考这一逻辑。

二十八、一元函数极值的三套判别法

第一判别法：最稳

看

f^{'} (x)

左右符号。

若：

+ \to -

则极大值。

若：

- \to +

则极小值。

若：

+ \to +

或

- \to -,

不是极值。

这是考试中优先级最高的方法。

第二判别法

若：

f^{'} (x_{0}) = 0

并且

f^{''} (x_{0}) > 0,

则极小。

若：

f^{''} (x_{0}) < 0,

则极大。

若：

f^{''} (x_{0}) = 0,

不能判断。

高阶导数法

若

f^{'} (x_{0}) = f^{''} (x_{0}) = \dots = f^{(n - 1)} (x_{0}) = 0,

且

f^{(n)} (x_{0}) \neq = 0,

则：

$n$ 为偶数：有极值；
$n$ 为奇数：一般不是极值。

李正元有一道很典型的选择题：

f^{'} (x_{0}) = 0, f^{''} (x_{0}) = 0, f^{'''} (x_{0}) \neq = 0.

利用 Taylor：

f (x) - f (x_{0}) = \frac{f ^{'''} ( x _{0} )}{6} (x - x_{0})^{3} + o ((x - x_{0})^{3}) .

三次项左右异号，所以不是极值。

二十九、结合极限判断极值：很有考研味

网站将其单独列为一种题型：

极值与极限结合。

例如若已知：

x \to a lim \frac{f ^{'} ( x )}{x - a} < 0.

因为极限有限，可以先推出：

f^{'} (a) = 0.

又因为附近

\frac{f ^{'} ( x )}{x - a} < 0.

当

x < a,

有

x - a < 0,

因此

f^{'} (x) > 0.

当

x > a,

则

f^{'} (x) < 0.

所以：

+ \to -

于是：

x = a

是极大值点。

这种题不要洛必达上头。

最重要的是分析符号。

三十、给导函数图像判断极值

网站 2003-12 就考了：

给出

f^{'} (x)

图像，判断 $f$ 有几个极大、极小值。

核心：

不要数

f^{'} (x) = 0

有几个点。

要看过零时符号怎么变。

+ \to -

极大；

- \to +

极小；

相切横轴而不换号：

不是极值。

三十一、函数最值：区间问题必须检查端点

极值是局部概念。

最值是整体概念。

如果题目要求：

[a, b]

上最大值、最小值。

候选点必须包括：

内部驻点；
内部不可导点；
端点 $a, b$ 。

然后全部代回比较。

即：

闭区间最值 = 内部候选点 + 边界点

这个思想到二元函数闭区域最值时完全一样。

三十二、函数图像综合题

网站 1988-45 是一类很经典的综合题：

f (x) = \int_{0}^{x} e^{- t^{2} /2} d t,

要求：

求导；
单调性；
奇偶性；
拐点；
凹凸性；
水平渐近线。

这其实是考能否建立函数性态表。

一般作图题顺序最好固定为：

定义域 \to 奇偶 / 周期 \to 零点 \to 渐近线 \to f^{'} \to 单调、极值 \to f^{''} \to 凹凸、拐点

以后碰到“讨论函数性态/作图”，直接套。

三十三、模块4第二核心：多元函数极值

网站把多元极值单独分成：

定理与概念；
极值点和极值；
最值；
有界闭区域最值。

这是数一、数二、数三都必须重视的一块。

三十四、二元极值必要条件

若

z = f (x, y)

在内部点

(x_{0}, y_{0})

可微并取得极值。

则：

f_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0, f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0.

网站 2003-34 就直接考这一必要条件。

但要注意：

f_{x} = f_{y} = 0

也只是得到驻点。

不是自动得到极值。

三十五、二元极值二阶判别

在驻点处令：

A = f_{xx}, B = f_{x y}, C = f_{y y} .

定义：

Δ = A C - B^{2} .

然后：

若

Δ > 0, A > 0,

为极小值点。

若

Δ > 0, A < 0,

为极大值点。

若

Δ < 0,

不是极值，是鞍点。

若

Δ = 0,

判别法失效。

这是必背表。

三十六、代表真题：2015 数二

网站题目给出：

f_{x y} (x, y) = 2 (y + 1) e^{x},

以及一些边界条件，要求先恢复 $f (x, y)$ ，再求极值。

网站最终得到：

f (x, y) = e^{x} (x + y^{2} + 2 y) .

求偏导：

f_{x} = e^{x} [x + (y + 1)^{2}],

f_{y} = 2 (y + 1) e^{x} .

所以驻点：

(0, - 1) .

再计算二阶偏导：

A = 1, B = 0, C = 2,

于是：

A C - B^{2} = 2 > 0,

且

A > 0.

因此是极小值点，极小值：

- 1.

这道题值得学的不是积分

而是完整流程：

恢复函数 \to f_{x} = f_{y} = 0 \to 求驻点 \to A, B, C \to A C - B^{2}

三十七、隐函数定义的多元函数求极值

网站 2016-2：

(x^{2} + y^{2}) z + ln z + 2 (x + y + 1) = 0

确定

z = z (x, y),

求极值。

这种题不要试图先把 $z$ 解出来。

设：

F (x, y, z) = 0.

则：

z_{x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}}, z_{y} = - \frac{F _{y}}{F _{z}} .

极值驻点要求：

z_{x} = z_{y} = 0.

若

F_{z} \neq = 0,

就等价于：

F_{x} = 0, F_{y} = 0.

这是非常好用的降维技巧。

三十八、有约束最值：三条路线

二元函数受约束：

g (x, y) = 0.

求

f (x, y)

最值。

有三种主方法。

方法1：直接消元

如果约束很容易：

y = φ (x),

则直接代入：

F (x) = f (x, φ (x)) .

变成一元函数。

优先使用。

方法2：参数化

例如椭圆：

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1.

可设：

x = a cos t, y = b sin t .

网站 1994-2：

在

x^{2} + 4 y^{2} = 4

上找一点，使到直线

2 x + 3 y - 6 = 0

距离最短。

网站将椭圆参数化：

x = 2 cos t, y = sin t,

然后最大化

2 x + 3 y = 4 cos t + 3 sin t .

利用：

4 cos t + 3 sin t \leq 5.

最终得到最短距离点。

方法3：拉格朗日乘子法

若：

g (x, y) = 0,

建立：

L (x, y, λ) = f (x, y) + λ g (x, y) .

解：

⎩ ⎨ ⎧ f_{x} + λ g_{x} = 0, f_{y} + λ g_{y} = 0, g (x, y) = 0.

或者记成：

\nabla f = λ \nabla g .

几何意义非常重要：

约束曲线上达到极值时， $f$ 的等值线与约束曲线相切，所以两个梯度平行。

三十九、闭区域最值：不要只求内部驻点

这是多元极值最容易丢分的题。

若

D

为有界闭区域。

求：

f (x, y)

最大最小值。

必须查：

内部

f_{x} = 0, f_{y} = 0.

边界

把每条边界分别处理。

角点/端点

全部代入。

最后统一比较。

即：

闭区域最值 = 内部 + 边界 + 角点 .

和一元函数闭区间最值完全同构。

四十、数一专项：空间切平面与法线

网站这一部分从 1989 到 2018 有大量真题，包括：

已知切平面与某平面平行求切点；
求曲面单位法向量；
隐式曲面切平面；
给定若干点寻找与曲面相切的平面。

核心只有一个词：

\nabla F

四十一、隐式曲面的切平面

曲面：

F (x, y, z) = 0.

在

P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

处：

\nabla F (P_{0}) = (F_{x}, F_{y}, F_{z})

就是法向量。

所以切平面：

F_{x} (P_{0}) (x - x_{0}) + F_{y} (P_{0}) (y - y_{0}) + F_{z} (P_{0}) (z - z_{0}) = 0.

法线：

\frac{x - x _{0}}{F _{x}} = \frac{y - y _{0}}{F _{y}} = \frac{z - z _{0}}{F _{z}} .

四十二、代表真题：1994 数一

曲面：

z - e^{z} + 2 x y = 3

在

(1, 2, 0)

处求切平面。

令：

F = z - e^{z} + 2 x y - 3.

则：

F_{x} = 2 y,

F_{y} = 2 x,

F_{z} = 1 - e^{z} .

在该点：

\nabla F = (4, 2, 0) .

所以切平面：

4 (x - 1) + 2 (y - 2) = 0,

即：

2 x + y - 4 = 0.

四十三、“切平面平行”题也是一个固定模板

例如网站 1995-2：

求曲面

z = \frac{x ^{2}}{2} + y^{2}

上平行于

2 x + 2 y - z = 0

的切平面。

目标平面法向量：

(2, 2, - 1) .

曲面的法向量：

(x_{0}, 2 y_{0}, - 1) .

平行条件：

(x_{0}, 2 y_{0}, - 1) ∥ (2, 2, - 1) .

于是直接找切点。

所以这一类核心：

平面平行 ⟺ 法向量平行

四十四、数三专项：经济学应用

网站把这一部分单独整理得很完整，包括：

弹性；
收益；
平均成本；
边际成本；
利润最大；
多商品需求弹性；
多变量最优决策。

四十五、弹性

若：

y = f (x),

$y$ 关于 $x$ 的弹性：

E_{x}^{y} = \frac{d y}{d x} \frac{x}{y}

需求函数通常因为：

Q^{'} (P) < 0,

经济学里常取正值：

η = - \frac{d Q}{d P} \frac{P}{Q} .

代表真题：1989 数三

若：

Q = a p^{b},

则：

Q^{'} = ab p^{b - 1} .

所以：

E = Q^{'} \frac{p}{Q} = ab p^{b - 1} \frac{p}{a p ^{b}} = b .

因此幂函数最大的特点就是：

Q = a p^{b} ⟹ E = b .

四十六、弹性与收益关系

收益：

R = P Q .

于是：

\frac{d R}{d P} = Q + P \frac{d Q}{d P} .

由需求弹性：

η = - \frac{d Q}{d P} \frac{P}{Q}

得到：

P \frac{d Q}{d P} = - η Q .

所以：

R^{'} (P) = Q (1 - η) .

网站 2009-3 就直接利用这个关系。

因此：

若

η < 1,

则：

R^{'} (P) > 0,

涨价收益增加。

若

η > 1,

则：

R^{'} (P) < 0,

涨价收益下降。

若

η = 1,

收益处于驻点。

这是数三非常值得背的结论。

四十七、边际、平均与利润

成本：

C (Q) .

边际成本：

M C = C^{'} (Q) .

平均成本：

A C = \frac{C ( Q )}{Q} .

平均成本最小时：

A C^{'} (Q) = 0.

即：

\frac{Q C ^{'} ( Q ) - C ( Q )}{Q ^{2}} = 0.

所以：

Q C^{'} (Q) = C (Q) .

除以 $Q$ ：

M C = A C .

网站也直接考过这一关系。

四十八、利润最大模型

利润：

L (Q) = R (Q) - C (Q) .

极值条件：

L^{'} (Q) = 0.

于是：

R^{'} (Q) - C^{'} (Q) = 0.

即：

M R = M C .

边际收益等于边际成本。

网站 2020-3 给出需求函数和成本函数，先反解价格：

P = P (Q),

然后：

R (Q) = P (Q) Q,

再构造利润：

L (Q) = R (Q) - C (Q) .

求导得到利润最大产量

Q = 8.

四十九、模块4中最值得掌握的“导数结构识别”

这些最好练到条件反射。

看到

x f^{'} (x) - f (x)

想到：

(\frac{f ( x )}{x})^{'} .

因为：

(\frac{f}{x})^{'} = \frac{x f ^{'} - f}{x ^{2}} .

看到

x f^{'} (x) + f (x)

想到：

(x f (x))^{'} .

因为：

(x f)^{'} = f + x f^{'} .

看到

\frac{f ^{'}}{f}

想到：

(ln ∣ f ∣)^{'} .

看到

f^{'} g - f g^{'}

想到：

(\frac{f}{g})^{'} .

因为：

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}} .

网站单调性题中就有这种比较结构。

五十、考研最重要的“构造辅助函数”思维

很多人所谓“不等式不会做”，本质是不会识别目标。

例如目标：

f (x) > g (x) .

构造：

F = f - g .

目标：

\frac{f ( x )}{g ( x )} > \frac{f ( a )}{g ( a )} .

构造：

F (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )} .

目标：

f (x) > f (a) e^{k (x - a)} .

取对数后构造：

F (x) = ln f (x) - k x .

目标：

f (x + y) < f (x) + f (y) .

固定 $y$ ，构造：

F (x) = f (x + y) - f (x) .

这才是模块4真正需要练出来的能力。

五十一、真题+练习题中特别值得训练的题

除了前面真题，建议把下面这些当成“母题”。

1. 李正元第四章选择题：极限直接推出极值

已知：

x \to a lim \frac{f ( x )}{( x - a ) ^{4}} = 2,

且 $f$ 在 $a$ 连续。

由：

f (x) = 2 (x - a)^{4} + o ((x - a)^{4}),

所以附近：

f (x) > f (a) = 0.

因此 $a$ 是极小值点。

价值

把：

极限 + 高阶无穷小 + 极值

联起来。

2. 李正元：分段函数不可导极值

题目中的分段函数在 $x = 0$ 不可导，但两侧函数值都小于 $f (0)$ ，因此 $x = 0$ 仍然是极大值点。

价值

彻底打掉错误观念：

极值 \neq \Rightarrow f^{'} = 0.

3. 李正元综合：求单调、极值、凹凸、拐点

例如：

y = \frac{2 x ^{2}}{( 1 - x ) ^{2}}

要求完整讨论。

网站解析同时检查了：

定义域；
一阶导数；
极值；
二阶导数；
凹凸；
拐点；
不连续点不能作为拐点。

这种题非常适合用来训练完整流程。

4. 张宇1000题：参数恒成立

例如网站有：

x^{2} + \frac{a}{x ^{3}}

一类表达式要求对

x > 0

恒大于某常数。

核心就是：

恒成立 ⟺ 函数最小值满足要求 .

以后见：

F (x, a) \geq C, \forall x \in D,

往往转成：

x \in D min F (x, a) \geq C .

这是参数不等式的核心。

五十二、把所有题型压缩成 10 个母题

如果想做到“学一道会一类”，模块4最终只需要练透以下十套。

母题1

切线、法线

核心：

k = f^{'} (x_{0}) .

包括显函数、隐函数、参数方程、极坐标。

母题2

相切

核心：

f (x_{0}) = g (x_{0}),

f^{'} (x_{0}) = g^{'} (x_{0}) .

母题3

相关变化率

核心：

先建立关系，再对

t

求导。

母题4

单调、极值、最值

核心：

f^{'}

符号表。

母题5

凹凸、拐点

核心：

f^{''}

是否变号。

母题6

函数不等式

核心：

构造

F = A - B .

母题7

方程根个数

核心：

单调段 + 极值 + 端点 / 极限 .

母题8

参数恒成立

核心：

把

\forall x

变成求最值。

母题9

多元极值

核心：

f_{x} = f_{y} = 0

再用

A C - B^{2} .

母题10

约束最值

核心：

消元 / 参数化 / 拉格朗日。

五十三、可以认为特别可能继续出的变式

结合真题和两套练习题，可以把以后可能出现的组合大致预测成下面几类。

预测1：相切 + 高阶接触 + 极限

已知两曲线在 $x = a$ 相切，并且：

x \to a lim \frac{f ( x ) - g ( x )}{( x - a ) ^{2}} = L .

因为相切：

f (a) = g (a),

f^{'} (a) = g^{'} (a) .

Taylor：

f (x) - g (x) = \frac{1}{2} [f^{''} (a) - g^{''} (a)] (x - a)^{2} + o ((x - a)^{2}) .

所以：

L = \frac{1}{2} [f^{''} (a) - g^{''} (a)] .

再结合曲率就能继续考。

2019 真题已经出现“相切+曲率+极限”的味道，所以这种组合非常自然。

五十四、预测2：参数根数 + 切线

例如：

e^{x} = a x + b

有两个实根。

其实就是直线：

y = a x + b

与：

y = e^{x}

有两个交点。

临界情况一定对应相切：

{e^{x_{0}} = a x_{0} + b, e^{x_{0}} = a .

所以参数根数临界值，本质常常来自相切。

这是：

根数 \leftrightarrow 极值 \leftrightarrow 相切

三者统一。

五十五、预测3：二元闭区域最值 + 参数

例如：

f (x, y) = x^{2} + y^{2} + λ x y

在：

x^{2} + y^{2} \leq 1

上求最大最小值，并讨论 $λ$ 。

这会把：

Hessian；
边界参数化；
二次型；
参数分类

组合起来。

属于非常好的综合题。

五十六、预测4：隐函数 + 极值 + 切线

若：

F (x, y) = 0

定义 $y = y (x)$ 。

问：

极值点；
切线；
极值类型。

由：

y^{'} = - \frac{F _{x}}{F _{y}} .

驻点：

y^{'} = 0

通常变为：

F_{x} = 0.

再结合：

F (x, y) = 0

联立求点。

这比先解 $y$ 高效得多。

五十七、预测5：经济学多元最优

站内 1990-45 已经有：

广告投入

(x_{1}, x_{2})

与销售收入 $R$ 的二元函数最优化问题，同时还增加“预算总额固定”的约束情形。

所以数三应该把：

二元极值 + 经济最优 + 预算约束

视作同一个题型。

无预算：

R_{x_{1}} = R_{x_{2}} = 0.

有预算：

x_{1} + x_{2} = M,

则消元或拉格朗日。

五十八、考场上模块4的识别口诀

可以把它压缩成下面这张表。

题干关键词	第一反应
切线	$f^{'} (x_{0})$
法线	$- 1/ f^{'} (x_{0})$
相切	同点 + 同斜率
单调	$f^{'}$ 符号
极值	$f^{'}$ 是否换号
最值	候选点全部比较
凹凸	$f^{''}$ 符号
拐点	$f^{''}$ 两侧是否换号
证明不等式	作差构造函数
比大小	作差 / 作商
唯一根	单调 + 零点定理
多个根	极大极小值跨 $x$ 轴
参数根数	参数化成水平线
恒成立	求最值
二元极值	$f_{x} = f_{y} = 0$ + Hessian
约束极值	消元 / Lagrange
曲面切平面	$\nabla F$
变化率	对时间求导
弹性	$f^{'} (x) x / f (x)$
利润最大	$M R = M C$

五十九、整个模块最值得形成的统一理解

不要把这些内容看成二十多个知识点。

实际上只有三个层次。

第一层：局部信息

f^{'} (x_{0}), f^{''} (x_{0})

说明一个点附近发生什么。

例如：

切线；
法线；
极值；
曲率。

第二层：区间信息

如果知道整个区间上：

f^{'} (x) > 0,

就能得到：

f 递增 .

知道：

f^{''} (x) > 0,

就能得到：

f^{'} 递增 .

第三层：全局信息

有了单调和极值，就能解决：

最值 \to 不等式 \to 参数范围 \to 方程根数 .

所以模块4真正的主线其实是：

求导 ⟶ 符号 ⟶ 图像走势 ⟶ 全局结论 .

这条主线一旦掌握，模块4绝大多数题都会变成同一种题。

六十、复习优先顺序

如果按考研投入产出比，建议这样练：

第一梯队：必须练到条件反射

单调性 + 极值最值 + 根个数 + 不等式 + 多元极值

网站真题在这些方向既有大量小题，也有大题，而且经常互相组合。

第二梯队：稳定拿分

切线法线 + 相切 + 凹凸拐点

第三梯队：按数学类别

数一：

曲率 + 切平面 + 空间法线

数二：

曲率 + 相关变化率

数三：

弹性 + 边际 + 收益利润最优

站内本身也明确将空间解析几何应用标为数一专项、经济学应用标为数三专项，而物理变化率和曲率主要出现在数一、数二部分。

最后给出一句最值得记住的话：

模块 4 不是 “ 求导题 ” ，而是 “ 把局部导数转化成全局结论 ” 的题。

只要一道题出现“恒成立、几个根、参数范围、证明大小、最大最小、相切、最优”，都应该优先想：能不能构造一个函数，然后研究它的一阶或二阶导数？

这就是模块4几乎所有高质量真题背后的共同方法。

高等数学模块 4：导数的应用

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